Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Фурье и формулу для его коэффициентов.
Г. Пространство функций с конечным числом измерений
В качестве примера рассмотрим шестимерное пространство L функций вида ф
(r)=c1x2+c2y2+c3z2-fc4yz+ Jf-c^zx+c^xy, зависящих от координат х, yfj,
частицы, где
Линейная алгебра и векторные пространства 4f
функция ф (г) задается набором шести комплексных параметров сг. Определим
скалярное произведение двух функций ф (г) и ф' (г) как интеграл
(ф\ ф) = § J J ф'* (г) ф (г) dV (3.13)
v
по единичной сфере V. Следует не упускать из виду отличие таких скалярных
произведений от скалярного произведения векторов в обычном трехмерном
пространстве. Чтобы избежать путаницы, мы будем обозначать скалярное
произведение в обычном трехмерном пространстве символом г'-г, а для
функций оставим обозначение (ф', ф). В качестве базиса L мы можем выбрать
шесть функций фх=а:2, ф2=г/а, ф3=г2, ф4=уг, фb=zx\ ф,=яу, обозначив их
через радиус-вектор г:
% = (е*-г)2. ф4 = (ев-г)(ег-г) и т. д. (3.14)
Этот простой базис не является ортонормированным, но линейная
независимость составляющих его векторов очевидна.
Д. Волновые функции
В квантовой механике свойства системы из N частиц в некотором
определенном состоянии описывает волновая функция ф(г)=ф(гь г2, . . .,
гv), являющаяся функцией координат частиц г*. Волновые функции
удовлетворяют определенным граничным условиям (зависящим от вида
системы); совокупность волновых функций, описывающих все возможные
состояния системы, образует векторное пространство. Скалярное
произведение определяется как
(ф', ф)= $ ф'*фсг7,
где интеграл берется по всем координатам, а элемент объема dV=dr1dvt . .
. drN есть произведение элементов объема, соответствующих каждой частице
в отдельности. Предполагается, что функция ф обладает конечной нормой (ф,
ф). Если гамильтониан системы Н, определяющий ее свойства, эрмитов, то
можно показать, что собственные функции ф'-, удовлетворяющие уравнению
Шредингера
48
Глава 3
Нф*=?'г'фг и описывающие стационарные состояния системы фг, будут взаимно
ортогональны в смысле соотноше-
базис в векторном пространстве. Если же при некоторой энергии Е система
становится вырожденной, т. е. имеется набор s линейно независимых
ортонормированных собственных функций фг, соответствующих этой энергии,
то набор этих функций фг (г=1, 2, . . ., s) образует базис s-мерного
подпространства, каждый вектор в котором есть собственная функция
гамильтониана Н с энергией Е.
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Изложив основные сведения о векторном пространстве L, перейдем теперь к
самому важному понятию всей книги - понятию преобразования (отображения),
переводящего каждый вектор пространства L в другой вектор того же
пространства. Пусть некоторый произвольный вектор г переводится в вектор
г'; определим оператор Т равенством
Тг = г'. (3.15)
Оператор Т называется линейным оператором, если для любых векторов гх, г2
и г выполняются соотношения
где с - любое комплексное число.
Поскольку даже конечномерное векторное пространство содержит бесконечное
множество векторов, на первый взгляд может показаться', что определить Т
равенством (3.15) можно лишь с использованием бесконечного набора
параметров. Но ограничившись лишь линейными операторами [формулы (3.16)1,
мы чрезвычайно упрощаем задачу: задавая преобразование базисных векторов,
мы тем самым задаем преобразование произвольного вектора. На практике все
операторы в этой книге, представляющие интерес с точки зрения изучения
симметрии, являются линейными - за одним небольшим исключением (т. 2,
Следовательно, они образуют
Т (r1-}-r2) = Tr1-|-Tr2,
Тег = сТг.
(3.16а)
(3.166)
гл. 15, § 7, п. Г).
Линейная алгебра и еекторные пространства
49
Рассмотрим теперь преобразование некоторого базисного вектора е* в
векторном пространстве конечной размерности s. Обозначим преобразованный
вектор через е-:
Те,= е;.. (3.17)
Но поскольку векторы ei, е2, . . е" образуют базис, вектор можно
разложить по атому базису:
е'=
Таким образом, в силу (3.17) имеем Те,= 2 Г,е,,
но коэффициенты Т], очевидно, зависят также от индекса i исходного
вектора, а потому было бы желательно ввести этот индекс в коэффициент
Тзаписав его как Tjt, и тогда
е) = Те,= 2У".е,. (3.18)
/= 1
Таким образом, преобразование всего базиса полностью задается набором s2
коэффициентов Tit. Зная эти коэффициенты, можно найти преобразование
Тг=г' для
S
произвольного вектора г=У. г<е,-:
I-1
_ Тг= | г,Те, = 2 г, 2 Tjfi/ = j (j Tj,r,
(3.19)
Вводя компоненты г) вектора г',
г' = S г/еу>
и сравнивая с равенством (3.19), мы видим, что они свя-заны с
компонентами г$ вектора г соотношением
s
= (3.20)
Коэффициенты преобразования Тл входят как в формулу (3.18), так и в
формулу (3.20), но эти две формулы не
т
Глава 8
одно и то же. Первая из них связывает преобразованные базисные векторы с
исходным базисом, а вторая - компоненты любого преобразованного вектора с
его первоначальными компонентами, причем те и другие компоненты относятся
