Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
алгоритму.
1. Разделив вектор е2 на его норму, получим нормированный вектор е1 =
е1/(ех, вх)1'2.
2. Построив е2-(еь е2)ех и нормировав его, получим е2. Ясно, что тогда
(el5 е2)~(ех, е2)-(вх, е2)(е1, ех)=0.
3. Построив е3-(ех, e3)ej-(е2, е3)е2 и нормировав, получим е3. Сразу же
имеем (вх, е3) = (е2, с3)-0.
Продолжая такой процесс, получим ортонормирований набор ег, где г = 1, 2,
. . ., s. Новый набор ег - линейно независимый, поскольку его
составляющие взаимно
44
Глава 3
ортогональны. Так, предположим, что выполняется соотношение
2с;е; = 0. (3.5)
i = i
Тогда, вычислив скалярное произведение некоторого вектора e^ с левой и
правой частями равенства (3.5), получим с;=0. Таким образом,
нетривиальные связи типа (3.5) не существуют и набор является линейно
независимым. Для завершения доказательства заметим, что ни один из
векторов ег не может тождественно равняться нулю, ибо это означало бы
линейную зависимость исходного набора векторов et, а по нашему
предположению они образуют базис и, следовательно, линейно независимы.
Рассмотренный метод построения ортопормированного набора векторов
называется ортогонализацией по Шмидту.
Коэффициенты rt в формуле (3.2) для ортонормирован-ного базиса иногда
называют i-ми "компонентами" или координатами вектора г. Они просто
связаны со скалярным произведением, а именно
г,= (е,-, г). (3.6)
Это следует из равенства (3.2), если вычислить скалярное произведение
левой и правой частей с некоторым фиксированным вектором ej и учесть
соотношение (3.4). Скалярное произведение двух произвольных векторов,
выраженное в их компонентах, равно
0*1. г2)= S 2 ru rt/(et, е•) = 23 ГиГ2{. (3.7)
i=ii = i i = 1
Для заданного векторного пространства L с некоторым ортонормированным
базисом еь где i = l, 2, . . ., s, можно построить "подпространство" Lt,
выбрав в качестве нового базиса меньший набор ег, где, скажем, г = 1, 2,
. . ., sx<Z.s. Оставшиеся базисные векторы порождают другое
подпространство Ь2, называемое "ортогональным дополнением"
подпространства Lx. Мы часто будем пользоваться записью L=Lj-\-L2. Это
означает не то, что все векторы пространства L принадлежат либо'/^, либо
L", а^то, что любой вектор из L можно представить в виде суммы вектора из
Lx и ортогонального ему вектора из Ь2. ___
Линейная алгебра и векторные пространства
45
§ 2. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ
A. Смещения в трех измерениях
Всевозможные смещения частицы в трехмерном пространстве относительно
начала координат - самый естественный пример действительного линейного
векторного пространства. Сумма любых двух смещений, очевидно, тоже есть
смещение. В качестве базиса обычно выбирают три единичных вектора ех, е",
ez, направленных вдоль осей х, у и z, а скалярное произведение
определяется как произведение длин двух векторов на косинус угла между
ними. Такое определение не зависит от выбора базиса; читатель может
проверить геометрически, что оно обладает необходимыми свойствами (3.3).
Б. Смещения совокупности из N частиц в трех измерениях
В этом примере, являющемся обобщением предыдущего, естественнее всего
выбрать базис из 3N единичных векторов е*ж, e(i;, etz, где 2=1, 2, . . .,
N и etx представляет собой смещение частицы t на единичный отрезок в
направлении х, при котором все остальные частицы неподвижны. Можно
определить скалярное произведение как сумму по всем частицам обычных
скалярных произведений, определенных ранее в п. "А". Тогда произвольный
вектор
г= 2 2 гиец (3-8)
t- 1 i= х, у, z
будет соответствовать смещению всех частиц, при котором частица t
перемещается в направлении х на расстояние rtx и т. д.
B. Пространство функций
Далее мы рассмотрим совокупность всех непрерывных функций ip(x), где х
находится в интервале а^.х^.Ь, с граничными условиями ф(а)=ф(6)=0. Легко
показать, что эта совокупность образует векторное пространство в
соответствии с определением, данным в § 1, но не совсем ясно, как нам
определить здесь скалярное произведение. В действительности можно
показать, что определе-
46
Глава 3
ние
ь
(ф\ ф) = ^ ф'* (х) ф (х) dx (3.9)
а
удовлетворяет формальным требованиям (3.3). В этом случае две функции ф'
и ф ортогональны, если интеграл (3.9) обращается в нуль, и функция ф
нормирована, если ь
^ 1ф(ж)12dac == 1. Если положить для простоты а=0, Ь=п,
а
то набор
фп (ж) = (2/я)|/г sin пх,
где п - целое число, образует ортонормированный базис бесконечной
размерности. Соотношение
Я
(Ф*и ф") = -Jsinma:siiira:r6te = 8"iin (3.10)
о
доказывается легко, но требуется тщательно исследовать условие полноты,
чтобы доказать справедливость разложения
Ф (*) = S е"ф" (*) (3-И)
л=1
для любой функции из нашей совокупности и тем самым показать, что функции
фп(#) действительно образуют базис.
Коэффициенты сп в разложении (3.11) совершенно аналогичны коэффициентам
гг в формуле (3.2), и в соответствии с (3.6) имеем
я
с" = (ф", ф) = (2/л)1/*^ sin гсхф (х) dx. (3.12)
о
В формулах (3.11) и (3.12) мы узнаем разложение в синусоидальный ряд
