Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
• • • • • • • •
• * • • • • • • • • ¦ ¦ • •
Рис. 11.2.
сти. Так как Т± - это обычные повышающий и понижающий величину Мт
операторы (гл. 7, § 4, п. Б), коммутирующие с Y, результат действия
операторов Т± на ба-
У
зисный вектор, изображенный точкой (Мт, Y), изображается точками (Мг± 1,
Y). Таким образом, операторы Т± соответствуют сдвигам на ±1 в направлении
оси
322
Глава 11
Мт. Точно так же из перестановочных соотношений (И.Зв) следует, что
операторы U+ соответствуют сдвигам в (Мт, У)-плоскости на векторы (+V2,
±1), а операторы V± - на векторы (+V2, +1) (рис. 11.3).
Неприводимые представления характеризуются тем, что при помощи
инфинитезимальных операторов из любого вектора пространства представления
можно получить ба-х . х • х • х • х зис
этого пространства. Из
. рис. 11.3 явствует, что ве-
. личина Y может меняться
х , только на целое число.
Кроме того, если величи-. на Y изменяется на не-
х • х • х * х • х четное число, то
соответ-
рис ^ ствующее изменение вели-
чины Мт является полуцелым. Таким образом, мы видим, что точки,
соответствующие базисным векторам неприводимого представления,
расположены в узлах гексагональной решетки, помеченных на рис. 11.4
крестиками. Такая конфигурация может быть реализована на сетке,
показанной на рис. 11.2, тремя разными способами:
1) с узлом гексагональной решетки в точке (0, 0);
2) с узлом в точке (0, 2/3); (11.4)
3) с узлом в точке (0, -2/3).
Соответственно этому неприводимые представления распадаются на три типа.
[Случаи, когда узел гексагональной решетки расположен в точках (0, iVg),
должны быть исключены, так как тогда мы имели бы C/z=+1/4.]
Теперь нам необходимо выбрать такие точки на решетке, чтобы
соответствующие базисные векторы порождали пространство неприводимого
представления. Для этого рассмотрим в пространстве неприводимого
представления D базисный вектор с наибольшим "весом", или "старший
вектор". Под этим мы подразумеваем, что этому вектору |ф> соответствует
максимальное значение Y и максимальное при этом Y значение Мт. (Можно
было бы также определить старший вес, поменяв местами Y и Мт.) Из
определения |ф> следует, что
7,+ |ф> = С/+|ф> = У_|ф> = 0, (11.5)
Группа SU3 и приложения к элементарным частицам 323
так как операторы U+ и V_ повышают величину Y, а оператор Т+ повышает
величину МТ, оставляя величину Y неизменной. Таким образом, из
соотношений (11.5), а также из определения операторов Uz и Vz,
приведенного сразу после формул (11.3а), следует, что вектор |ф> имеет
определенные Т-, U- и Т-спины, равные
Т = Мт, U = Mu = ^Y-±MT,
V = -Mv = ^Y + ±MT.
Этот вектор принято обозначать парой целых чисел Х=2Т и р=2U, так что
Т=1/2(Х+р)) а координаты соответствующей точки решетки равны
Мг = 1я, У=(1а, + 2ц). (11.6)
Теперь мы можем показать, что всем базисным векторам представления D
соответствуют точки решетки, рас-
Y
положенные на сторонах или внутри шестиугольника, изображенного на рис.
11.5. Стороны этого шестиугольника параллельны векторам, изображенным на
рис. 11.3.
324
Глава 11
Длины сторон К и (л равны числу промежутков между узлами решетки. (Чтобы
перейти к реальным длинам, нужно уменьшить масштаб по оси Y в V3j/3 раз.)
Начав с точки А, соответствующей старшему вектору |i|j>, мы можем при
помощи оператора Т_ последовательно уменьшить Мт на К единиц. Так мы
достигнем точки F. Из определения старшего вектора следует, что ни одна
точка решетки, соответствующая базисному вектору пространства
представления D, не может лежать выше линии AF. Аналогично,
последовательное применение к вектору |i|)> оператора U_ даст /7-спиновый
мультиплет, состоящий из р+1 точек решетки, лежащих на линии АВ. Базисные
векторы, соответствующие точкам на линии АВ, имеют вид U" |nj)>. Из
равенств (И.Зг) следует, что Т+\У1 |я|з> = =и"Т+|ф>=0 и V_U1 |ф>=0.
Поэтому справа от линии АВ нет точек решетки, соответствующих базисным
векторам представления D. Легко видеть, что координаты точки В таковы:
Мт = j (I + Ц), Y = -J- (Л,-+ 2а) - р = 1 (К-и).
Теперь можно достроить весь шестиугольник ABCDEF, руководствуясь
соображениями симметрии. Во-первых, имеется симметрия относительно оси Y,
связанная с симметрией значений Мт в Т-спиновой подгруппе SU2. Такая же
симметрия относительно [/-спина и F-спина приводит к зеркальной симметрии
относительно двух диагоналей, изображенных на рис. 11.5. Мы получили
такой шестиугольник, что все базисные векторы пространства неприводимого
представления соответствуют точкам, лежащим внутри него или на его
сторонах. (Отметим, что упомянутая "зеркальная" симметрия имеет место по
отношению к узлам решетки. Чтобы превратить ее в настоящую зеркальную
симметрию, нужно уменьшить масштаб Y в 1/гУ3 раз.)
Каждому узлу решетки на линии ABC соответствует Г-спиновый мультиплет,
пересекающий шестиугольник в горизонтальном направлении до линии FED.
Точки этого мультиплета получаются последовательным применением оператора
Т_. Аналогично каждый узел решетки, лежащий на линии AFE, порождает [/-
