Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
О = — Wd і2 -j- Л2 cos2 х dt2, отсюда dt = ± sec /
или . .
t=±\ogtg\~K )+const. (67.5)
Последнее выражение должно быть взято в пределах / =O в ^-тг, а затем еще раз с обратным законом в пределах и и 0. Результат равен бесконечности, так что подобное путешествие никогда не будет закончено.
Де Ситтер устраняет поэтому парадокс остановки времени на горизонте, замечая, что эта остановка отражается только на событиях, которые произошли до начала или после конца вечности. Более подробно мы рассмотрим однако этот вопрос в п. 70.
!3-3 Крнвизиа пространства и времени
68. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО.
Уравнение (67.11) для сферического пространства, появляющееся как в эйнштейновой, так и в де ситтеровой формах интервала, может, быть истолковано также, как формула слегка измененного типа мира, так называемого «эллиптического пространства». С современной точки зрения это название довольно неудачно, так как оно ни в какой степени не выясняет его природы. Мы можем подойти к вопросу эллиптического пространства следующим путем. Предположим, что в сферическом пространстве физические процессы, протекающие в каких-либо точках, точно подобны процессам, протекающим в антиподных точках, так что одна половина мира представляет собой точное подобие другой. Пусть A, Bs А', В'—четыре точки, каждая на расстоянии 90° от предыдущей по дуге большого круга. Перейдем теперь из точки В' через точку А в точку В; если мы будем продолжать наш путь вдоль BA', мы не сможем сказать, не повторяем ли мы совершенное уже один раз путешествие вдоль В'А. Нам хочется допустить, что дуга В'А на самом деле является непосредственнным продолжением AB, и что В и В' — одни и те же точки, только помещенные в силу какой-то ошибки при проекции далеко друг от друга так же, как наиример мы видим Берингово море, помещенное на двух краях карты, в проекции Меркатора. Оставим метафизикам решать вопрос, могут ли два предмета быть точно подобны как по внутренним свойствам, гак и по отношению к окружающим предметам и в то же время отличаться в смысле их тождественности. Физику нет дела до таких мистических различий в тождестве. В рассматриваемом нами случае физик без всяких колебаний заявит, что наблюдатель исследует вторично ту же самую полусферу *).
*) При определенном способе перехода из точки В' в точку В наблюдатель все же заметил бы, что он находится в эллиптическом, а не в сферическом пространстве. Представим себе, тгв ои переходит из точки Br в точку В по большому кругу сферы, оставаясь все время на иаружлой поверхности сферы. Ho жриходе в точку В он заметит, что хотя точка В и соседние С нею физически тождественны С ТОЧКОЙ В' а соседними C Ш?Ю, однако те точки, которые в точке В' находились слева от него, теиерь окажутся справа и обратно. В этом и сказывается физически различие в связности между сферическим и эллиптическим пространством. Геометриче-
68. Эклиптическое пространство
295
Мы видим, что сферический мир в данном случае состоит не из двух подобных полусфер, HO всего ЛИШЬ ИЗ одной полусферы, которую мы представляем себе для удобства проектирования дважды повторенной. Дифференциальная геометрия для такого мира будет та же, что и для сферы и дается уравнением (67.11), но связность будет различна. Точно так же плоскость и цилиндр обладают одной и той же дифференциальной геометрией, но различными свойствами связности. На граничном круге каждой полусферы противоположные концы диаметров следует считать совпадающими, что не поддается графической интерпретации; но, конечно, это обстоятельство не может служить аргументом против существования такой связи.
Эта полусфера, возвращающаяся сама в себя подобным сопоставлением антиподных точек, представляет собой тип эллиптического пространства. Для дальнейшего нам не понадобится специально рассматривать эллиптическое пространство. Достаточно запомнить, что, принимая сферическое пространство, мы возможно дважды воспроизводим физический мир; например, рассмотрен-
ски это различие можно формулировать так: если итти по плоскости
сферического пространства, двигаясь все время прямолинейно, то мы сперва придем в противоположную точку той же плоскости, а затем вернемся в исходную точку и при этом окажемся на той же стороне плоскости, что и в начале движения; при таком же движении в эллиптическом пространстве мы окажемся при возвращении в исходную точку на противоположной стороне плоскости (что соответствует приходу в противоположную точку в сферическвм пространстве) и лишь при продолжении движения в том же направлении мы окажемся при вторичном возвращении в ту же точку на той же стороне плоскости, что и в начале движения (что соответствует возвращению в исходную точку в сферическом пространстве).
Мы видим, таким образом, что твердое тело, скользящее по прямой в эллиптическом пространстве без вращения, т. е. так, что плоскости, проходящие через эту прямую, скользят по себе самим, оказывается, тем не менее, при первом возвращении в исходную точку повернутым на 180° вокруг той же прямой.
