Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
при
r^=h. (39.62)
Сравним эти выражения с уравнением ньютоновских орбит *):
?+•=?’ (39-71)
*) Именно, если частица с массою 1 движется под влиянием силы тяготения К (г), исходящей из начала координат некоторой полярной системы координат (г, 9), то согласно ньютоновской механике интеграл энергии н интеграл площадей напишутся так:
?- + rV
J К (г) dr = const; /2 со = A1 (А)
dr • dio
где r = iF> ? = -^.
Отсюда получаем дифференциальное уравнение орбиты:
Ії?[(^У+Г2]+ J *(»¦)*• =COLBt.
Если, в частности, К (г) — — , то, полагая ы = —- , будем иметь
I du\z . 2т
(з?) +" *a = conrtf
откуда, дифференцируя еще раз по у и разделив на ^ ~ , получим
•Pu , т Л /т„
_ + а_д = 0. (В)
Уравнения (А) и (В) совпадают с уравнениями (39.72) и (39.71).
т
1эН
Закон тяготения
где
r2^ = ft. (39.72)
TH
В уравнении (39.61) отношение 3ти2 к — равно 3//2м2 или [см. (39.62)]
3
При обычных скоростях эта величина чрезвычайно мала— практически она равна утроенному квадрату отношения орбитальной скорости к скорости света. Например, для земли это отношение равно 0,00000003. Таким образом, практически добавочный член в уравнении (39.61)будет представлять собой исчезающе малую поправку к уравнению ньютоновской орбиты (39.71).
Точно так же, разница между ds и dt из уравнений (39.62) и (39.71) будет в той же степени незначительна (даже если бы мы были вполне уверены в том, что подразумевается под величиной dt в ньютоновской теории).
Собственным временем для тела является величина ds, и может показаться, что дифференциал dt в уравнении (39.72) играет именно такую роль; но, с другой стороны, величину s нельзя рассматривать как координату, так как дифференциал ds не представляет собой полного дифференциала, а ньютоновское «время» всегда принимается за координату.
Таким образом, мы заключаем, что частица, движущаяся в поле, которое нами было здесь исследовано, будет вести себя так, как если бы она находилась под действием ньютоновской силы от частицы с гравитационной массой т, находящейся в начале координат. Движение будет происходить согласно ньютоновской теории, причем отступления от последней будут находиться вне пределов точности тех измерений, при помощи которых эта теория получила свое подтверждение.
Показав, что наше решение удовлетворяет уравнению G = 0. мы тем самым доказали, что оно описывает возможное состояние мира, которое можно встретить в действительности при соответствующих условиях. Отыскав орбиту частицы, мы выяснили, как Это состояние мира, если оно существует, может быть обнаружено при помощи наблюдений. Таким образом, мы заключаем, что пространственно-временное поле,определяемое формулой(38.8),
39. Орбиты планет
сопутствует частщіе массы т, находящейся в начале координат (или «вызывается» ею).
Гравитационная масса т в ньютоновской теории рассматривается как мера способности образования данной частицей ускоряющего поля вокруг себя. Единицы измерения при этом нами выбраны так, что скорость света и гравитационная постоянная были равны едЬнице. Необходимо заметить, что до сих пор нами не было приведено никаких оснований для предположения, что величина т, встречающаяся в этой главе, имеет что-либо общее с величиной т, введенной в п. 12 для измерения свойств инерции частицы.
Для круговой орбиты ньютоновская теория дает
т = ш2 г3 = »2г,
еслн гравитационная постоянная равна единице. Применим этот
HM
результат к земле, для которой г = 30 т. е. равно IO-4 в до-
СЄК
лях скорости света, а » =1,5 • IOs км. Отсюда масса солнца приблизительно равна 1,5 нм. Масса земли составляет 7зооооо часть массы солнца, поэтому оиа приближенно равна 5 мм *).
Более точно, масса солнца, равная 1,99 • 10 г, переходит в гравитационных единицах в 1,47 км; другие массы преобразуются в такой же пропорции ’*).
*) Иногда делают возражение против употребления сантиметра как единицы гравитационной (т. е. вызывающей гравитацию) массы; но такие же возражения можно сделать и против применения для этой цели грамма, так как грамм представляет собой на самом деле меру другого свойства частицы, а именно, ее инерции. Наша постоянная интегрирования т очевидно является длиной, н читатель, если он хочет явно отметить это обстоятельство, может назвать ее гравитационным радиусом, а не гравитационнон массой. Ho если уяснить себе, что гравитационный радиус в сантиметрах, инерция в граммах и энергия в эргах представляют собой лишь числовые меры в различных системах одною и того же свойства, присущего частице, то будет исключительным педантизмом настаивать на прежнем различии этих единиц, которое вытекло лишь из предположения, что они измеряют свойства, радикально отличающиеся друг от друга.
**) В частности, 1 г в гравитационных единицах будет равен:
IO -28 CM = 7,4 .10—29 CM.
(Я.)
Закон тяготения
40. ДВИЖЕНИЕ ПЕРИГЕЛИЯ.
Уравнение (39.5) для планетной орбиты может быть проинтегрировано при помощи эллиптических функций, но мы получим гораздо проще требуемые для астрономии данные методом последовательных приближений.
