Основы магнитного резонанса. Часть II - Дзюба С.А.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения (13.4) не описывают, однако, движения к равновесному состоянию (13.1), в котором поперечные компоненты намагниченности равны нулю, а продольная компонента равна стационарной намагниченности М& Действительно, из (13.4) и рис. 13.1 видно, что величины продольной и поперечной намагниченностей в ходе прецессии не меняются. Релаксация к равновесному состоянию происходит благодаря действующим на спиновую систему локальным микроскопическим полям молекулярного происхождения. Например, для молекул жидкости основным источником такого поля является дипольное магнитное поле ядер. Молекулы жидкости быстро и случайным образом вращаются, дипольное поле при этом флуктуирует из-за своей анизотропии.
Оказывается, что усредненное действие достаточно быстро флуктуирующих молекулярных полей приводит, как это будет показано в гл. 15, к экспоненциальной релаксации. Формально экспоненциальную релаксацию можно описать с помощью так называемых уравнений Блоха.
M/t) = Mx(O) сошо( + My(O) sinwj, гж м _ SinmJ + My(O) cosoij ,
МО).
(13.4)
Hll А
Рис. 13. 13.2 Уравнения Блоха
К правым частям уравнений (13.3) добавим новые члены, описывающие экспоненциальную релаксацию:
dt JM.
(O0My -
М,
dt
JMz dt
-CO0Mx --
12
м„
M1-M0
т.
(13.5)
ще T2 и Tj - константы, имеющие размерность времени. Они называются соответственно временем поперечной и продольной релаксации. С последним мы уже имели дело (см. п. 1.6). Ниже будет показано, что оба определения времени Tj эквивалентны. Уравнения (13.5) называются уравнениями Блоха.
Из уравнений Блоха следует, что Mx и My экспоненциально стремятся к нулю при t да. Решение для Mz имеет простой вид
MJt) = M0 - (M0 - MJO))exp(-t/Tj) (13.6)
Оно описывает установление равновесия для продольной намагниченности.
Теперь посмотрим, что произойдет при включении переменного магнитного поля Ні і. Щ. Для этого удобно перейти во вращающуюся систему координат.
13.3. Вращающаяся система координат, эффективное ноле
Введем систему координат, которая вращается с частотой со вокруг оси Z лабораторной системы координат. Ее оси
обозначим как X, Y, Z ( Z совпадает с Z). Пусть при /=O обе системы координат совпадают, а вращение осуществляется в "левую" сторону (см. рис. 13.2). Тогда соотношения между координатами произвольной точки пространства в обеих системах имеют вид
X = xcoscot + у Sincott у = -X sin©/ + у COScat, (13.7а)
Z = Z.
С использованием комплексных переменных эти равенства могут быть записаны в компактном виде
x + fy=(x+&)e(137б)
Z = Z.
Если указанная точка неподвижна во вращающейся системе (т.е вращается вместе с ней), то из (13.7) следует
dx ~ dv ~ dz
— 6>y, -f —сох, -f 0 (13.8а)
dt dt dt
Введем вектор угловой скорости вращения (О = (0, 0, -оу) (знак минус потому, что вращение в левую сторону). Тогда из (13.8а) следует, что изменение со временем некоторого неподвижного во вращающейся системе вектора а определяется уравнением
8 — (О X а (13.86)
dt
Обозначим і, j, к орты вращающейся системы координат. Для их производных по времени справедливо равенство (13.86). Возьмем производную по времени от намагниченности
M = Mxi + Myj + Mzk:
<М di .. dMy . dMz, гУ di ъ $ o dk
—TT —• —T2-J + —Tj-K+Mx-+ Mv-+ М.-— = dt dt dt 1 dt x dt y dt 1 dt m 9)
<Sf
системе координат. Перепишем (13.9) с учетом (13.2) в виде
—: =- <йхМ = X Hn +M X© = Ш X H- , 13.10)
St dt 0 .tf
іде введено эффективное поле
Heff =He+ ©/у 13.11)
Таким образом приходим к важному выводу, что уравнение движения (13.2) для M пригодно и во вращающейся системе координат, если вместо H подставить Heff.
Из (13.11) видно, что если ю = (O0 s уНо, то HeH = 0. В этом, случае во вращающейся системе координат вектор M неподвижен.
13.4. Классическое описание резонанса
Пусть теперь включено осциллирующее поле 2HjCOSu)t В плоскости ху лабораторной системы координат (смысл коэффициента 2 станет сейчас понятен). Для определенности пусть вектор Hi будет направлен вдоль оси X, т.е. в покомпонентной записи пусть он имеет виц 2Hicos6J? = 2Hi(cosajt,0,0). Формально правую часть можно разбить на два слагаемых
ЩсойМ, sin©/, 0) + #i(cos(-fttf), sin(-orf), 0). (13.12)
Как показано на рис. 13.3, это сумма двух векторов, вращающихся в противоположные стороны.
Перейдем теперь во вращающуюся с частотой (о систему координат. Здесь один вектор неподвижен, а второй вращается с очень большой частотой 2 со. Последним поэтому можно пренебречь. Таким образом, все эффекты воздействия Hi можно рассматривать для поля, поляризованного по кругу. Во вращающейся системе координат такой вектор Hi неподвижен, что упрощает рассмотрение.
Вместо (13.11) для эффективного поля во вращающейся системе координат теперь имеем
Heff =He+ ©/у+H1 (13.13)
Пусть для определенности поляризованный по кругу вектор Hi направлен во вращающейся системе координат вдоль оси X. Тогда Heff = (Hh 0, (щ - <а)/у) (см. рис. 13.4). Вектор M прецессирует во вращающейся системе координат вокруг He^. Такое движение принято называть нутацией или осцимяциями Торри. Частота прецессии есть
