Небесная механика. Основные задачи и методы - Дубошин Г.Н.
Скачать (прямая ссылка):
ана-
*) То есть левые частя интегралов площадей линейны а отдельности
относительно координат i], ? и в отдельности относительно скоростей т),
?•
ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ В АБСОЛЮТНЫХ ОСЯХ
341
литическне функции, а Пенлеве обобщил и это доказательство на задачу
многих тел *).
Упомянутые доказательства показывают, что вопрос о нахождении новых
интегралов задачи многих тел (даже ее простейшего случая - задачи трех
тел) имеет теперь только теоретическое значение, так как эти интегралы
были бы чрезвычайно сложными для того, чтобы иметь какое-либо
практическое приложение.
Посмотрим теперь, какую пользу может нам принести знание известных,
классических интегралов.
Так как знание каждого первого интеграла системы обыкновенных
дифференциальных уравнений позволяет принципиально понизить порядок
системы на одну единицу, то при помощи десяти классических интегралов
уравнений (7.1) мы имеем возможность понизить порядок этой системы па
десять единиц.
Это преобразование можно выполнить, во всяком случае теоретически, либо
исключая из уравнений движения, записанных в виде системы уравнений
первого порядка, какие-нибудь десять из неизвестных функций либо выражая
все 6/г + б неизвестных через 6п - 4 новых независимых переменных,
которые могут быть выбраны совершенно произвольно, при том лишь условии,
чтобы все классические интегралы тождественно удовлетворялись.
Получив тем или иным способом из системы (7.1) систему уравнений 6п - 4-
го порядка, мы можем понизить порядок полученной системы еще на одну
единицу, исключая dt (время t явно в уравнения движения не входит!) и
принимая, таким образом, за независимую переменную одну из определяемых
функций. Когда преобразованная таким образом система будет
проинтегрирована (если это возможно, разумеется), время t найдется при
помощи одной квадратуры и общая задача приведется, следовательно, к
интегрированию системы 6л- 5-го порядка и к одной квадратуре.
Наконец, можно еще понизить порядок системы на одну единицу, используя то
обстоятельство, что действующие силы зависят исключительно от взаимных
расстояний между точками системы.
Окончательно, после всех указанных приведений, мы получим систему
уравнений, порядок которой равен 6п - 6 и после
*) Доказательства теорем Брунса и Пуанкаре можно найти в сокращенном виде
в книге Е. Т Уиттекера, Аналитическая динамика, перев. с англ., ОНТИ,
1937. См. также Г. Н. Д у б о ш п н, Небесная механика. Аналитические и
качественные методы, "Наука", 1964, и У и н т н е р, Аналитические основы
небесной механики, нсреы. с англ., "Наука", 1967.
342
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
интегрирования которой нужно будет выполнить еще две квадратуры.
Однако, хотя все указанные приведения и можно выполнить фактически ценой
весьма громоздких и сложных выкладок, но они приводят к очень сложным и
несимметричным уравнениям, рассмотрение которых мало облегчает дальнейшее
решение задачи.
Действительно, для главной задачи небесной механики- задачи о движении
больших планет солнечной системы, где число планет равно девяти*),
первоначальный порядок уравнений абсолютного движения есть 6 •9 + 6 = 60.
Если выполнить псе возможные понижения порядка, то мы получим систему
уравнений 6-9-6 = 48, для которой мы не знаем никаких интегралов, а
поэтому можем решать ее только приближенными методами.
Но ясно, что для процедуры приближенного решения почти совершенно
безразлично, будет ли порядок системы равен 60 или 48, а сложность
уравнений, наоборот, имеет весьма существенное значение.
Легко только понизить порядок системы (7.1) на шесть единиц при помощи
интегралов движения центра масс. Действительно, левые части интегралов
(7.8"') линейны, как уже отмечалось, относительно координат и
составляющих скоростей точек системы, а это обстоятельство и позволяет
без всякого труда выполнить преобразования, связанные с использованием
этих интегралов. При этом очевидно, что понижение порядка можно
произвести бесчисленным множеством способов, из которых естественно
выбрать наиболее простые и удобные.
Важнейшие из этих способов мы рассмотрим в следующем параграфе.
5. В заключение этого параграфа, посвященного дифференциальным
уравнениям абсолютного движения, используем последнее свойство силовой
функции - свойство ее однородности, выражаемое формулой (7.7)-для вывода
одного замечательного уравнения, связывающего только взаимные расстояния
между материальными точками.
Для этого умножим уравнения (7.1) соответственно на г),-, и просуммируем
затем rio i от нуля до п.
В силу формулы (7.7) мы получим
2 mi (hit + 1lirli + ?,-?/) - - U•
i-0
*) Меркурий, Венера, Земля с Луной, Марс со спутниками, Юпитер со
спутниками, Сатурн со спутниками, Уран со спутниками, Нептун со
спутниками и Плутон.
§ 2] ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ В АБСОЛЮТНЫХ ОСЯХ 343
Складывая это равенство с интегралом живых сил (7.11), умноженным на 2,
найдем
? ml (1^ + t? + ЛД + Л? + S& + Ц) =U + 2h,
что можно переписать также в виде
