Небесная механика. Основные задачи и методы - Дубошин Г.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Так как уравнения (7.1) не изменяются при замене t на -t, то мы получим
значения функций для t<to, заменяя в формулах (7.5') переменную t на to -
t, вследствие чего движение будет определено для всех значений времени от
-оо до +оо.
2. Силовая функция U, входящая в уравнения (7.1'), зависит только от
взаимных расстояний между точками М0, Mi, ... , Мп и, следовательно, не
зависит от выбора системы координат. Полезно заметить также, что силовая
функция не зависит ни от производных |, г), ?, ни от времени (явно).
(7-5)
точек.
16°. 4°. С°|?°. л°> Е°).
ть = Л/(* I!°. л0. ?°|1°- л0. ?°)>
е,=С,(/|?°. 1-1°, s° 14°, ri°, ?>),
(7.5')
ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ В АБСОЛЮТНЫХ ОСЯХ
331
Функция U, как видно из формулы (7.4), есть алгебраическая
(иррациональная) функция, определенная для любых вещественных значений
координат и принимающая только неотрицательные значения. Она обращается в
нуль только в том случае, когда все взаимные расстояния делаются
бесконечно большими, т. е. когда все точки М* "разлетаются" друг от друга
в бесконечность.
Наоборот, функция U обращается в бесконечность всякий раз, когда хотя бы
одно из взаимных расстояний делается равным нулю, т. е. когда хотя бы две
из всех точек системы сталкиваются (соударяются) в одной точке
пространства.
Выведем теперь два свойства силовой функции, вытекающие из ее
независимости от выбора координатной системы.
Действительно, так как функция U не зависит от выбора координат, то она
не изменит своего значения при любом параллельном преобразовании системы
координат. Сместим начало координат вдоль оси 01 на бесконечно малую
величину Д?, вследствие чего всякая из координат получит приращение Д?, а
координаты т)< и не изменятся. Так как взаимные расстояния Ац зависят
только от разностей координат, то они также не изменятся, а поэтому
функция U тоже не изменится и, следовательно, ее полное приращение будет
равно нулю.
Но приращение функции U в общем случае определяется формулой
и так как в рассматриваемом случае
d\t = Д?, diu = dtf= 0. dU = О,
П
dU
то получим, сокращая на Д?, = 0.
i=o 1
В силу равноправности координатных осей имеем три подобные равенства:
Sf="¦ St-* <7-6<)
/-0 i-0 I-О
Чтобы получить второе свойство, повернем систему координат вокруг одной
из осей координат, например вокруг оси 0?, на бесконечно малый угол Д<р.
Тогда, очевидно, координаты ?<
332
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
не изменятся, а координаты Н, и Г|,- получат соответственно приращения *)
(рис. 40)
= - '1/
Ни одно из взаимных расстояний не изменится, а поэтому имеем dU = 0 и
формула (7.6) дает (после сокращения на Дер)
V Ь. м. i=0
dU \
ди s' d~t ) - Л
V
JceJ
I-о
(7.6"
Л / dlJ .. dU \ n
L (11(' 117 di]7)' f = 0
причем последние два соотношения написаны по очевидной аналогии и могут
быть выведены совершенно так же, как и первое.
Соотношения (7.6') и (7.6") могут быть получены и непосредственно из
выражений (7.2).
*) Действительно, обозначая новые координаты точки М( через и •0/ =
°)' мы имеем по формулам преобразования
!• = cos Лф - ii;- sin Дф, - h sin Дф -|- Т1г cos Лф.
Ввиду малости угла Aq: сто синус можно заменить самим углом, а косинус -
единицей. Поэтому с' = - 1](- • Дф, r|(- - j(- ¦ Дф + Ч/. откуда получаем
elli = - Sj = - Л* ДФ- = г{, - Л/ = + h ДФ-
ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ В АБСОЛЮТНЫХ ОСЯХ
и точно так же
Отметим еще одно очевидное свойство силовой функции. Формула (7.4)
показывает, что U есть однородная функция от переменных S,-, rlf, ?,• с
измерением -1, а поэтому в силу теоремы Эйлера об однородных функциях мы
имеем
3. Уравнения движения взаимно притягивающихся точек образуют систему
6(л+1)-го порядка и для полного ее интегрирования нужно получить либо ее
общее решение, содержащее 6(я + 1) произвольных постоянных, либо ее общий
интеграл, т. е. совокупность 6("+1) независимых между собой первых
интегралов. Общие принципы механики позволяют сразу получить десять из
этих 6(л + 1) первых интегралов. Однако предпочтительнее вывести эти
интегралы из самих уравнений (7.1; или (7.1').
Выведем эти десять первых интегралов, называемых обычно классическими
интегралами задачи многих тел.
Прежде всего, складывая все уравнения (7.1) или (7.1') для
каждой координаты в отдельности (для /=0, 1.....и) и имея
в виду соотношения (7.60, мы получим следующие три уравнения:
Уравнения (7.8) являются следствиями уравнений (7.1) и замечательны тем,
что левые их части представляют собой точные производные по t. Поэтому
уравнения (7.8) можно непосредственно интегрировать, что дает следующие
три первых интеграла:
П
(7.7)
П
п
п
2 т,1, = 0, 2 ЩТ\1 = 0, 2 mfct - 0. (7.8)
1-0 1-0 1-0
334
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
Уравнения (7.8') также, очевидно, можно интегрировать, что дает еще три
первых интеграла:
2 "ZiEi = ал( + bv 2 тМi = <*4 + К 2 mh = а4 + К (7-8")
0 i = U i-0
где Ьи Ьг, Ь3 - три новые произвольные постоянные.
Уравнения (7.8') и (7.8"), которые можно написать еще все вместе в
