Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
приходим к следующей системе канонических уравнений вращательного
движения небесного тела:
Первая система канонических уравнений:
dtf dK dPq> _ 6 К
dt дру dt ~ дф '
db dK dPfl дК
~dt dt W'
difi dK dPif дК
dt dt dty '
(9.1.11)
в которых гамильтонова функция К равна
к=т-и.
(9.1.12)
Соответствующее системе (9.1.11) уравнение Гамильтона - Якоби имеет вид
dS
dt
+U
sin ф / dS . dS
"Hr ( тг + "л- cos sin 0 \ оф ' аф
ft)
dS
COS
]2
+
. 1 Г cos ф (dS . dS .Л , dS . I2 . 1 (dS V T1 n
+ 2fl LliHTW + 1^COS<0+1*S1H +2ёЫ ~U = 0-
(9.1.13)
Другие системы канонических уравнений движения тела вокруг его центра
масс связаны с выбором невозмущенного движения, интегрированием
надлежащего уравнения Гамильтона - Якоби и каноническими
преобразованиями.
Один из способов выбора невозмущенного движения связан со случаем Эйлера
- Пуансо. Считая моменты сил, приложенных к небесному телу, малыми, можно
в исходном приближении в качестве невозмущенного решения принять движение
по Эйлеру - Пуансо. В этом случае, полагая в (9.1.13) U = 0, после его
756
Ч. IX. ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС
[§ 1.02
интегрирования получим формулы, определяющие невозмущенное вращательное
движение тела.
Пусть для определенности А < В < С. Положим
VC-B . I С - А / В
Л ' b = V-B-¦ C = V"
", = д/
- л
G2 -2ЛЯ
(2СЯ - G-)
(9.1.14)
(9.1.15)
С(С-Л)' V (С - fl)(G- - 2АН)
где G - модуль кинетического момента поля, а Н - его живая сила, и введем
вспомогательную переменную х так> что
р = ш'аа cos х, <7 = ш'Ьст sin х,
г = m' V1 - с2ст2 sin2 ?.
}
(9.1.16)
Общее решение невозмущенной (упрощенной) задачи, определяющее эйлерово
движение тела, тогда запишется в виде
Х = аш(и, k),
р = (?>'ао спи, q = (?>'bosnu, г = со' dnu, ш = m'V 1 + й2а2 - a2b2c2a2
sn2 и, u = aba' (t + A), k = ест.
(9.1.17)
Невозмущенное движение небесного тела удобно относить к
системе координат, основной плоскостью которой служит неизменяемая
(инвариантная) плоскость Лапласа, нормальная кинетическому моменту тела.
Основные плоскости и линии новой системы координат изображены на рис. 103
в пересечении со сферой единичного радиуса. Неизменяемая плоскость
пересекает единичную сферу по большому кругу НК. Пусть Хо - точка
пересечения новой оси абсцисс с этой сферой. По определению эйлеровых
углов для новой системы отсчета имеем
¦ф0=иад ф0 = w Нх, Q0=ZN'HN. (9.1.18)
Положение неизменяемой плоскости относительно старой системы координат
задано следующими угловыми величинами:
if' = w XN', ¦&' = Z XN'K, g = w N'Xq. (9.1.19)
Рис. 103. Вспомогательные углы и дуги.
§ 1.02]
ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
757
Имеют место следующие соотношения, связывающие все введенные величины:
sin Ф sin (i|j - ij/) = sin Ф0 sin (i|j0 - g),
Sin ft COS (l|j - l|/) = COS Sin ft' -\- Sin COS ft' COS (t]}j - g),
cos ft = cos cos ft' - sin ft0 sin ft' cos (г|э0 - g),
sin ft sin (фо - ф) = sin ft' sin (г|з0 - g), sin ft cos (ф0 - ф) = sin
Ф0 cos ft' + cos sin #' cos (ipj - g).
(9.1.20)
Теперь запишем полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби (9.1.13),
определяющий эйлерово невозмущенное движение:
Здесь
S = -Ht + F$ + $рф^Ф+ (9.1.21)
(9.1.22)
Н = ±(Ар2 + ВЯ2 + Сг2),
F = [Ар sin ф + Bq cos ф) sin ft - Cr cos ft, рф = Cr = G cos ¦fro,
p$ = - Лрсоэф + Bq этф = G sin^si'n^o - ф),
G2 = A2p* + B2q2 + Ch2.
Если ввести дуги
V^vNN', =>n-vHN', (9.1.23)
то полный интеграл (9.1.21) примет вид
S = -tf^ + (i|>-'ilO/r + G(4'0 + J cosG0dq>o). (9.1.24)
Связь между двумя системами углов Эйлера и постоянными интегрирования
дается формулами
р
COS ft COS ft0 + sin ft sin ¦fro COS (ф0 - ф) = -jr,
¦ 1л ( sinZ Фо I COS2 фо 1\ 2H 1
SlnM~^--------------------V~B---------------~C)=~G^~~C'
COS4fQ =
A 1 В С cos ft - cos ft0 cos
F cos ft0 + G cos ft
si:: sin ft'
cos ft0 - cos ft cos ft'
-y/G2 - F2 sin fta F cos ft + G cos ft0
sin ft sin ft'
Vcs - F2 sin ft
(9.1.25)
758
Ч. IX. ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС
[§ 1.02
Полный интеграл Гамильтона - Якоби приводит к следующим трем первым
интегралам невозмущенного движения:
3S _ dG
dS , dF ~l l'
dS
dH
= h
(9.1.26)
в которых fi, gi, h\ - произвольные постоянные. Вместо (9.1.26) можно
также записать
Л = Ф- V, со'аЬ(* + Л,) = Я(х,*),
(9.1.27)
От старых канонических переменных (эйлеровых углов и соответствующих им
импульсов) можно перейти к новым каноническим переменным
F, G, Н,
fi, g = gi-n, h.
(9.1.28)
При рассмотрении возмущенного движения небесного тела относительно его
центра инерции переменные (9.1.28) могут быть приняты в качестве
оскулирующих элементов. Уравнения возмущенного движения при этом будут
иметь вид
Вторая система канонических уравнений:
dF __ дК dG _ дк dH _
dt dfi ' dt dg '
dh dK dg _ dK
dK
dt
dh
dh
dK
dt
dF
dt
dG
dt
dH
(9.1.29)
в которых функция Гамильтона К должна быть выражена через время и шесть
новых переменных.
Развитие изложенного и его приложения к задачам астрономии можно найти во
втором томе сочинения Ф. Тиссерана [1].
Иной выбор канонических переменных предлагается М. Ан-дуайе [2]. Позднее
