Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Воспользовавшись принципом суперпозиции для электромагнитных полей, для вектора Максвелла, соответствующего результирующему электрическому полю, получим следующее выражение:
IV .
? нЛ
г
N
? Кгв^г
Статистический вывод параметров Стокса
295
Таким образом, соответствующая Z-матрица имеет вид
Для дальнейших вычислений нам нужно сделать следующие три предположения:
а) Предположим, что наша основная цель при вычислении Z-матрицы заключается в том, чтобы определить значения четырех параметров Стокса — действительные числа, которые можно сравнить с числами, полученными непосредственно из фотоэлектрических измерений. Однако в процессе таких измерений мы должны собрать энергию света, переносимую ограниченной областью светового луча за конечный период времени наблюдения, и измеренные таким образом величины будут соответствовать усредненным во времени и в пространстве элементам приведенной выше Z-матрицы. Получающуюся при таком усреднении Z-матрицу будем обозначать \Z).
б) Будем также предполагать, что колебания вдоль оси х и вдоль оси у всех N волновых возмущений «взаимно когерентны». Это означает, что наблюдается усредненная интенсивность излучения, в которую каждое волновое возмущение дает независимый вклад, и, следовательно, полная наблюдаемая интенсивность есть сумма интенсивностей отдельных г и s возмущений. Что касается колебаний вдоль оси х, когда имеются одновременно два волновых возмущения1), то интенсивность излучения дается выражением
Отсюда следует, что если два волновых возмущения взаимно некогерентны, то усредненное значение интерференционного члена или взаимной интенсивности должно Ьыть близким к нулю, т. е. (2HrHs cos (фг — fs)) = 0. Так 1<ак обе вели-
*) Термином «волновое возмущение» электромагнитного поля автор называет цуг электромагнитных волн, испускаемый одним атомом или одной молекулой в одном акте спонтанного излучения. — Прим. ред.
А7
N
N
N
N
Z Нге1Фг ? ? Нгв1*' ?
г
S
г
N
Ы
N
N
? 2 ? к*1*' ? к*-1*'
Г S Г S
1ГШ = (нге~1фг + Н^~1ф$) (Нге1фг + Н/Ф°) =
= Щ + Щ + 2HrHs cos (Фг - ф,) = lr + ls + 2HrHs cos (фг - *,).
10*
296
Приложение 111
чины Н положительны и ради простоты они могут рассматриваться как неизменные за время наблюдения и по пространству, занятому лучом света, то равенство нулю этого члена означает, что разность фаз фг — фв претерпевает большое число полных периодов изменения и в любой данный момент времени с равной вероятностью может принимать любое значение в интервале 0 — 2л. При этом мы можем сказать,, что все усредненные члены, такие, как (cos (фг— Ф$)), (ехр [t(^>r — ^s)j) и (ехр [—t(^r — &)]). пренебрежимо малы.
По аналогичным соображениям для составляющей поля вдоль оси у мы находим, что (ехр [f (4jjr — г|>8)]) = 0 и (ехр [—— *Ы1) = 0. Разумеется, существует одно важное исключение из этого правила: при г = s все приведенные выше выражения равны не нулю, а единице.
в) Наконец будем предполагать, что у каждого отдельного г-го волнового возмущения разность фаз r|v — фт = Аг есть постоянная величина. Иными словами, хотя сама по себе фаза фг и испытывает за время наблюдения большое число циклов изменения, однако ее поведение во времени в точности одновременно повторяется фазой \jjr. Следовательно, r-е возмущение можно рассматривать как произведение вектора Макс-
Г нт л
велла I „ «д I и быстро меняющегося фазового множителя L r J
ехр(фг). Отсюда следует, что при усреднении выражений (exp[±i(^r — Ф,)]) мы получаем либо нуль, либо exp(±t'A) в зависимости от того, имеем ли мы дело со случаем г Ф s или со случаем г = s.
Воспользовавшись этими тремя допущениями, теперь можно выполнить процедуру усреднения Z-матрицы. В результате имеем
(2> =
’ Z ? HrHs (ехр [i (фг - ф,)] > Е ? НrKs (ехр [i (ф, - %)]>"
Ё Е KTHS (ехр [- i (Ф8 - -фг)]> z ? KrKs (ехр [i(г|зг - -фв)] >
Поскольку, как мы видели, каждый фазовый множитель при усреднении обращается в нуль, кроме случая г = s, то можно исключить двойное суммирование и получить
Г S
N N
N N
S
г s
N
N
ЕЯ*
г
?яДгехр(-/Дг)
Г
N
I HrKr ехр(/Дг) Z К2г
Г
г
Статистический вывод параметров Стокса
297
Таким образом, мы получили важный результат, состоящий в том, что когда складываются взаимно иекогерентные волновые возмущения, то усредненная Z-матрица суммарного волнового возмущения равна сумме Z-матриц отдельных возмущений. Аналогично каждый из четырех параметров Стокса суммарного волнового возмущения равен сумме соответствующих параметров отдельных возмущений:
N N N N
/=Е/г, Q = ZQr. u = Zur, v = Zvr.
г г г г
Отсюда следует, что если известны параметры Стокса каждого отдельного волнового возмущения или с помощью законов статистики можно предсказать их наиболее вероятные значения, то параметры оптического луча в целом можно получить непосредственным суммированием. Можно поступить и наоборот: начать сразу с определения элементов (усредненной) Z-матрицы, а затем воспользоваться формулами
/ = zn + z22, Q = zn — z22,
U = Zl2+ Z21, V =* I (Z12 — Z2i).
Заканчивая "это приложение, приведем несколько конкретных примеров Z-матриц и столбцов Стокса для некоторых типов световых пучков и соответствующие векторы Максвелла, которые в большинстве случаев также описывают состояния пучков. Перечисленные ниже вектор-столбцы нормированы так, что каждый из них описывает луч с интенсивностью, равной единице.
