Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
107
редаточной функции показывает, что контраст миры *) будет воспроизводиться с ослаблением на 50% по сравнению с оригиналом.
Рассмотрим теперь задачу отображения модели точечного источника — обскуры — хорошо скорректированным коллиматор-ным объективом с фокальным отношением F. Такая постановка задачи моделирует наблюдение «искусственной звезды». Даже если диаметр обскуры меньше длины волны света, ее кажущийся угловой размер, определяемый по расходимости света, прошедшего через коллиматор, равен 1,22АId рад и соответствует линейному размеру 1,22а,/7 ее изображения в фокальной плоскости коллиматора. Таким образом, разумно использовать обскуру, диаметр которой близок к указанному выше размеру, — любое уменьшение размеров приводит к неоправданной потере большого количества света без какого бы то ни было улучшения его направленности. Свет, падающий на обскуру, обычно представляет собой сфокусированное изображение какого-либо яркого источника: солнца, циркониевой дуги, газонаполненной вольфрамовой лампы накаливания и т. п. Не будем, однако, забывать, что при фокусировке лазерного луча на ту же самую диафрагму можно получить значительно более высокую яркость изображения.
Для некоторых задач светотехники, например в прожекторах, желательно использовать световые лучи, угловая расходимость которых существенно превосходит расходимость, обусловленную дифракцией. В этом случае основные преимущества лазерного луча теряются и лучше выбрать подходящий источник некогерентного света.
Для того чтобы описать направленность светового пучка, выберем опорную плоскость, расположенную на некотором, удобном для вычислений расстоянии R справа от источника света. Если Умакс — максимальное значение угла, охватываемого коллиматором, то для любого луча, исходящего из центра источ-
г*п
ника, можно записать лучевой вектор в виде I у I > ГД9
— Рмакс V ^ Ума ко- Мы можем рассматривать семейство таких лучей как основную часть светового пучка.
Рассмотрим теперь какой-либо другой луч, проходящий через опорную плоскость с компонентами лучевого вектора у' и V'. Оценим теперь, сколько «масштабов, разрешаемых оптиче-
’) Оптическая мира представляет собой набор моделей решеток с различным числом штрихов на миллиметр. Миры применяются для эксперименталь-
ного измерения предельной разрешающей способности оптических систем, фор-
мирующих изображение. — прим. перев.
108
Глава 3
ской системой», укладывается между этим пробным лучом и центральным лучом пучка.
Для того чтобы проследить за распространением света в обратном направлении до плоскости источника, необходимо умножить лучевой вектор на (отрицательную) матрицу перемеще-
ния
Г1 г,
I q j I. При этом мы найдем, что величина у, соответствующая точке источника, из которой вышел наш пробный луч, дается выражением y'—-RV'. Разделив полученное, выражение на дифракционный радиус 0,61 k/VMaKC, получим безразмерное отношение (у'УМЛКс — /?У'УМакс)/0,61А,. Последнее выражение можн& переписать в виде
Здесь мы использовали вектор пробного луча вместе с
вектором крайнего луча центрального пучка для получения матрицы 2X2 нового типа. Определитель этой матрицы позволяет установить, принадлежит ли пробный луч исходному семейству лучей. Если это так, то поскольку два вектор-столбца характеризуются одним и тем же отношением y/V, то определитель обращается в нуль. Если же пробный луч «принадлежит другому пучку лучей», то определитель имеет конечное, отличное от нуля значение, и если оно существенно больше 0,61 Л,, то пробный луч характеризует световой пучок, параметры которого отличаются на измеряемую величину от параметров центрального пучка лучей.
На Данном этапе важно понять, что величина ^того определителя зависит лишь от того, какую именно пар/ лучей мы выбрали, и не зависит от выбора опорной плоскости. По сути дела мы задаем вопрос: какую часть дифракционной ширины составляет расстояние между выбранными двумя лучами, если их продолжить до плоскости источника? Мы свяжем полученный определитель с величиной, называемой инвариантом Лагранжа, и покажем, что ее постоянство следует из закона сохранения энергии. Однако, чтобы доказать, что эта величина остается постоянной при переходе от одной опорной плоскости к следующей, мы можем положиться на тот факт, что, всякий раз как с помощью унимодулярной матрицы преобразования лучей осу*
\Ух уЛ
ществляется переход от матрицы у у, J в одной опорной
Г у2 у'31 [v2 V'J
плоскости к матрице t/ v/ I в другой опорной плоскости,
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
109
матричные элементы могут меняться, однако определитель должен оставаться постоянным для любой опорной плоскости. В частности, если два выбранных нами луча J и ? у/ j ПРИ_
надлежат одному и тому же световому пучку, то этот определитель равен нулю. В противном случае он будет иметь постоян"-ное значение, отличное от нуля.
Если мы выберем два луча, отличающиеся друг от друга настолько, насколько это возможно, то значение рассматриваемого определителя дает нам для любой заданной оптической системы меру числа различных оптических путей, по которым свет может пройти через систему. В таких расчетах удобно использовать понятия входного люка, или полевой плоскости, системы и ее входного зрачка. (Эти понятия определены в приложении I). Мы выберем следующие два луча первый — главный — луч, который проходит через край поля зрения системы и центр входного зрачка, и второй — боковой — луч, который проходит через центральную точку поля зрения и крайнюю точку входного зрачка.
