Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
371-380 -0,91 -2,09 -2,01 -1,12 -0,02 0,98 0,50 2,12 1,68 2,28
381-390 2,59 3,04 1,16 0,50 0,56 0,45 0,35 0,10 2,16 2,60
391-400 1,40 0,62 0,36 -0,09 1,93 1,80 1,13 -1,34 -1,94 -0,89
Таблица П7.2
Выборочные оценки корреляций для процесса авторегрессии второго порядка
Xt = Xf^1-OMt-I + Z,, /V = 50
к rxx (ft) ft rxx (ft) ft ft
1 0,574 11 -0,068 21 -0,217 31 0,049
2 0,086 12 0,124' 22 -0,124 32 -0,051
3 -0,166 13 0,109 23 0,035 33 -0,200
4 -0,130 14 0,000 24 0,165 34 -0,213
5 0,096 15 -0,063 25 0,137 35 -0,097
6 0,225 16 -0,043 26 -0,045 36 0,004
7 0,244 17 0,062 27 -0,136 37 0,007
8 0,032 18 0,103 28 -0,156 38 -0,060
9 -0,180 19 -0,047 29 -0,027 39 -0,096
10 -0,199 20 -0,152 ЗО 0,109 40 -0,086
Таблица П7.3
Выборочные оценки корреляций для процесса авторегрессии второго порядка
Xt = Xt-x - 0,bXt-2 + Zt, Л/ = 400
. (*)
. (ft)
1
2 З 4 Б 6 7 8 9 10 11 12
0,645 0,196 -0,080 -0,099 -0,009 0,057 0,066 0,040 0,030 0,052 0,088 0,051
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
0,012 -0,021 -0,074 -0,119 -0,070 0,008 0,064 0,069 0,017 -0,026 -0,032 -0,044
25 26 27 28 29 ЗО 31 32 33 34 35 36
-0,075 -0,116 -0,078 -0,038 -0,013 -0,036 -0,044 -0,037 -0,015 0,047 0,080 0,066
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
0,019 -0,020 -0,045 -0,035 0,021 0,083 0,081 0,017 -0,004 0,042 0,081 0,069
Глава 8
В этой главе понятия, введенные в гл. 5 и 6 (вып. 1), распространяются на случай пары временных рядов и случайных процессов. Первым таким обобщением, приведенным в разд. 8.1, является взаимная корреляционная функция двумерного стационарного случайного процесса. Эта функция характеризует корреляцию двух процессов при различных запаздываниях. Второе обобщение представляет собой двумерный линейный процесс, образуемый с помощью линейных операций над двумя источниками белого шума. Важными частными случаями такого процесса являются двумерный процесс авторегрессии и двумерный процесс скользящего среднего.
В разд. 8.2 мы обсудим вопрос об оценивании взаимной корреляционной функции. Мы покажем, что если не применять к обоим рядам фильтрации, переводящей их в белый шум, то при оценивании могут возникать ложные завышенные значения взаимной корреляции. В разд. 8.3 вводится третье обобщение — взаимный спектр стационарного двумерного процесса. Взаимный спектр содержит два различных вида информации, характеризующей зависимость между двумя процессами. Информация первого типа содержится в спектре когерентности, являющемся эффективной мерой корреляции двух процессов на каждой из частот. Информация второго типа дается фазовым спектром, характеризующим разность фаз двух процессов на каждой из частот. В разд. 8.4 оба эти типа информации иллюстрируются на простых примерах.
8.1. ФУНКЦИЯ ВЗАИМНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ
8.1.1. Введение
В этой главе мы будем заниматься вопросами описания пары временных рядов, или двумерного временного ряда. Используемые при этом способы являются обобщением способов, применявшихся в гл. 5, 6, и поэтому все относящиеся к временным рядам общие положения, изложенные в разд. 5.1, применимы и в этом случае. В разд. 5.1 под заголовком «Многомерные временные
ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ И ВЗАИМНЫЙ СПЕКТР
78
Глава 8
ряды» кратко упоминалось о том, что отдельные временные ряды, образующие многомерный ряд, могут быть неравноправны по отношению друг к другу. Рассмотрим, например, систему, показан-
Физический система
Рис. 8.1. Физическая система с двумя входами и двумя выходами.
ную на рис. 8.1, которая имеет два входа Xi(t), X2(O и два выхода X3(t), Xi(t).
Можно различать две ситуации. В первом случае два ряда находятся в одинаковом положении по отношению друг к другу,
(амперы) 15 -
56 t,ceit
Рис. 8.2. Синфазный и сдвинутый по фазе токи на выходе турбогенератора.
как, например, два входа на рис. 8.1. В этом случае Xx(I), x2(t) могут быть двумя коррелированными переменными управления, взаимодействие которых мы хотим изучить. Пример пары временных рядов, попадающих в эту категорию, приведем на рис. 8.2,
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
79
где приведены записи синфазного и сдвинутого по фазе входных токов турбогенератора.
Во втором случае два временных ряда причинно связаны, например вход x\(t) на рис. 8.1 и зависящий от него выход x3(t). В такой ситуации обычно требуется оценить свойства системы в такой форме, чтобы было удобно предсказывать выход по входу. Пример пары временных рядов такого типа приведен на рис. 8.3, где показана скорость впуска газа Xt(t) и концентрация
Ягодная скорость газа,
3 6 9 12 15 18 Zl 84 1,мин
P и с. 8.3. Сигналы на входе и выходе газовой печи.
двуокиси углерода X2(I) на выходе газовой печи. Видно, что выход X2(O запаздывает по отношению ко входу Xi(t) из-за того, что для доставки газа к реактору требуется некоторое время.
В первой ситуации обычно интересуются описанием взаимодействия, или корреляции, между двумя рядами, так чтобы это взаимодействие можно было подвергнуть любому дальнейшему исследованию. Например, если мы хотим управлять значениями выхода Xs(t) с помощью двух коррелированных управляющих переменных и хотим получить определенный результат на выходе, то нужно изучить эту взаимную корреляцию входных процессов. С другой стороны, во второй ситуации обычно интересуются соотношениями между Xi(t) и Xi{t), такими, например, как
