Понятие массы в классической и современной физике - Джеммер М.
Скачать (прямая ссылка):
4 Рсне Декарт, Избранные произведения, M., 1950, «Начала философии», стр. 485: «Когда одна частица материи движется вдвое скорее другой, а эта последняя по величине вдвое больше первой, то в меньшей столько же движения, сколько и в большей из частиц; и что насколько движение одной частицы замедляется, настолько же движение какой-либо иной возрастает».
5 Более дотально см. Rene D u g a s, La mecanique au XVJIe sioclo (Editions du Griffon, Paris, Neuchatol 1954).
:162 Таким образом, масса как отношение двух ?-инвариант-ных величин сама является ^-инвариантом.
Теорема В. Теорема сохранения импульса есть G-кова-риаитное предложение.
Доказательство. Рассмотрим столкновение двух тел с массами Uii и т2. Пусть скорости двух тел перед столкновением будут Ui и U2l а после столкновения соответственно U1 и и2. Относительно принятой системы отсчета R теорема сохранения импульса утверждает, что 2 2
ZJ m^i = S тіиі• (2)
і=1 і= 1
По отношению к системе отсчета Rf, движущейся с постоянной скоростью V относительно первой системы, скорости перед столкновением и после столкновения даются с помощью формул:
Ui = Ui-V; Ui =rXii (3)
(при і = 1 или 2), как это следует из уравнений (1). Подставляя эти величины в уравнение (2), мы получаем
+ = + (4)
или
2 IniUi= 2 TniUi. (5)
Так как, согласно теореме A1 т^ = иг*, то
= (6)
что и является теоремой сохранения линейного импульса для R'.
Теорема С. Масса не зависит от скорости. Доказательство. Рассмотрим столкновение идентичных и абсолютно неупругих тел в системе отсчета R. Пусть их скорости в системе R перед столкновением будут U1 = и и U2 = —и. После столкновения их скорости равны нулю. С точки зрения системы Rf их скорости перед столкновением равны
u;=u-v, u;=—и —v. (7)
Общий импульс перед столкновением будет
т (U1) U1+ т' (U2) и;. (8)
:163 который на основании теоремы В представляет собой векторную величину в направлении v. Таким образом,
т' (U1) u; + тп' (Ug) щ av. (9)
Принимая во внимание уравнение (7), получаем:
ш' (U1) (u — v) -\-т' (и2) ( — и — \) = av. (10)
В общем случае это возможно лишь при
т' (U1) = Tn' (U2)1 (И)
что доказывает справедливость теоремы по отношению к системе І?'. Из теоремы А получаем, что независимость массы от скорости сохраняется в любой галилеевой системе.
Напомнив таким образом дорелятивистские положения, вернемся теперь к рассмотрению понятия массы с точки зрения специальной теории относительности. В развитии релятивистского понятия массы можно различить три различных этапа, связанных с именами Эйнштейна, Льюиса и Толмена и, наконец, Минковского.
В своей исторической статье «К электродинамике движущихся тел» 6 Эйнштейн развил понятие массы, зависящей от скорости, из электродинамических соображений. Обосновав в кинематической части статьи так называемые уравнения преобразований Лоренца, Эйнштейн рассматривает в «Электродинамической части» (часть II) движение частицы с зарядом е и массой m0l «поскольку ее движение является медленным». В параграфе, озаглавленном «Динамика (слабо ускоренного) электрона», Эйнштейн дает уравнения
d2x J7
(12)
которые описывают переход заряженной частицы из состояния покоя в состояние движения по отношению к системе отсчета R. Для того чтобы найти закон движения частицы, имевшей первоначально скорость v по отношению к
eA. Эйнштейн, К электродинамике движущихся тел, Собрание научных трудов, т. I, M., 1965.
= еЕу,
:164 системе R, Эйнштейн рассматривает ситуацию с точки зрения системы R', движущейся со скоростью V относительно R. В этой системе R', ситуация идентична случаю перехода от состояния покоя к состоянию движения (в R). Согласно принципу относительности,
d2x'
mOspr = eEx,
TTt0^yL. = еЕ у, (13)
d*z'
mo-jft= ее z-
Масса частицы по отношению к системе R' снова становится массой медленно движущейся частицы и на основании принципа относительности должна быть равной т0. При помощи уравнений Лоренца предшествующие уравнения могут быть теперь преобразованы в координатах R, давая для движения вдоль оси Ox следующие уравнения:
з d2x Т?>
гпоУ2^ = еЕу, (14)
9 d2z
где у равна (1 — г?2 /с2)~1/а. Так как правые члены уравнений (14) «являются компонентами пондермоторной силы, действующей на электрон, причем эти компоненты рассматриваются в координатной системе, которая в данный момент движется вместе с электроном с такой же, как у электрона, скоростью», сравнение 7 с традиционной формулой — масса X ускорение = силе — показывает, что продольная масса равна y3m0, а поперечная — у2гп0:
Продольная массам (1_Д2)Э/2 , (15)
Поперечная масса = ——^ . (16)
7 В связи с настоящим определением силы Эйнштейном см.
Max Planck, Das Prinzip der Relativitat und die Grundgleichungen
der Mechanik, «Berichte der Deutschen Physikalischen Gesellschaft»,
4, 136-141 (1906).
:165 Замечание Эйнштейна, что «мы будем получать другие значения масс при другом определении силы и ускорения» 8, ясно показывает, что он сознавал произвольность своего определения массы. Действительно, если силы определить таким образом, что законы импульса и энергии принимают простейшую форму, тогда в силу тождества
