Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
lagrangian points - Astron. J., 1967, vol. 72, № 2, p. 173-179.
18. G a m b i 11 R. A. Criteria for parametric instability for linear
differential systems with periodic coefficients.- Riv. Mat. Univ. Parma,
1954, vol. 5, p. 169-181.
49. Гельфанд И. М., Лидский В. Б. О структуре областей устойчивости
линейных канонических систем дифференциальных уравнений с периодическими
коэффициентами.-УМН, 1955, т. 10, № 1, стр. 3-40.
20. G i а с a g 1 i a G. Е. О. Transformation of Hill's equation - a
method of solution - Astron. J., 1967, vol. 72, № 8, p. 998-1001.
21. H a 1 e J. K. Sufficient condition for the existence of periodic
solutions of first and second order differential equations.- J. Math.
Mech., 1958, vol. 7, № 2. p. 163-172
22. Канторович Л. В. Функциональный анализ и прикладная математика,-
УМН, 1948, т. 3, № 6, стр. 89-' 185.
23. X и н ч и н А. Я. Цепные дроби.-М.: ОНТИ, 1935.
24. Koksma J. F. Diophantische approximationen.- Berlin: Springer-Ver-
lag, 1936.
25. Колмогоров A. H. Общая теория динамических систем и классическая
механика. Международный математический конгресс в Амстердаме.- М.:
Физматгиз, 1961, стр. 187-208.
26. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику,-Киев:
Изд-во АН УССР, 1937.
27. Л е о н т о в и ч А. М. Об устойчивости лагранжевых периодических
решений ограниченной задачи трех тел.-ДАН СССР, 1962, т. 143, № 3, стр.
525-528.
28. Митропольский Ю. А. Проблемы асимптотической теории нестационарных
колебаний,-М.: Наука, 1964.
29. М о s е г J. The resonance lines for the synchrotron. Geneva, p.
290-292, Proceed. CERN Symp., 1956.
30. M о s e r J. Combination tones for Duffing's equation.- Comm. Pure
Appl. Math.. 1965, vol. 18, № 2, p. 167-181.
31. M о s e r J. The stability behavior of the solution of hamiltonian
systems. Lecture notes, S. I. D. A., 1965.
32. M о s e r J. New aspects in the theory of stability of hamiltonian
systems.- Comm. Pure Appl. Math., 1958, vol. 11, № 1, 81-114.
33. Мозер Ю. О кривых, инвариантных при отображениях кольца,
сохраняющих площадь,-Математика, 1962, т. 6, № 5, стр. 51-67.
184
ГЛ. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
34. Moser J. On the theory of quasi-periodic motions.- SIAM Rev., 1966,
vol. 8, № 2, p. 145-172.
35. Мозер Ю. О разложении условно-периодических движений в сходящиеся
степенные ряды.-УМН, 1969, т. 24, № 2, стр. 165-211.
36. Мозер 10. Новый метод построения решений нелинейных
дифференциальных уравнений.-Математика, 1962, т. 6, № 4. стр. 3-10.
37. Nash P. The imbedding of Riemmanian manifolds.- Ann. Math., 1956,
vol. 63, № 1, p. 20-63.
38. R ii s m a n II. t)ber die existenz einer normalform inhaltstreuer
ellip-tischer transformationen.- Math. Annalen, 1959, b. 173, s. 64-77.
39. Зигель К. JI. Об интегралах канонических систем.-Математика, 1961,
т. 5, Л" 2, стр. 103-117.
40. 3 и г е л ь К. Л. О существовании нормальной формы аналитических
дифференциальных уравнений Гамильтона в окрестности положения
равновесия.-Математика, 1961, т. 5, № 2, стр. 129-156.
41. 3 и г е л ь К. Л. Лекции по небесной механике.-М.: ИЛ, 1959.
42. Р о 1 В. van der. Forced oscillations in a circuit with nonlinear
resistance- Phil. Mag., 1926, vol. 2, p. 21-27; 1927, vol. 3, p. 65-80.
43. У и т т е к е р Е. Аналитическая динамика.-М.: ОНТИ, 1937.
ГЛАВА IV •
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ, СОХРАНЯЮЩИХ ПЛОЩАДЬ
1. Предварительные соображения
Согласно теореме Лиувилля, поток гамильтоновой системы в фазовом
пространстве сохраняет меру, т. е. сохраняется фазовый объем.
Рассмотрим общую систему обыкновенных дифференциальных уравнений
х = / (х, t), (4.1.1)
где х= (х1щ ..., хп), / = (/1? ..., fn). Пусть функции / аналитичны в
области D пространства Rn и периодичны по t с периодом
2л.
Предположим также, что при всех t функции / принадлежат
по крайней мере классу С2 относительно t. Если х0 е D, то существует, и
притом единственное, решение этой системы уравнений
x = g(x0,t), (4.1.2)
такое, что
g (х0, 0) = х01 Щ (х0, t)=f(g (х0. t), t).
Рассмотрим отображение
T:x-+g(x, 2я), (4.1.3)
которое является однозначным в окрестности точки х=х0. Обозначим через Тя
g-кратное последовательное применение отображения Т, например,
Г2: х^Т: g(x,2n)-+g[g(x,2n), 2л].
Пусть ж = 0 - решение системы уравнений (4.1.1). Тогда, очевидно, точка х
= 0 является неподвижной точкой отображения Тя (q - целое положительное
число), т. е.
Tq: х = х. (4.1.4)
Здесь стоит упомянуть следующие определения.
186
ГЛ. IV. ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
а) Неподвижная точка х является особой, если в D существует такая ее
окрестность, что в ней нет других неподвижных точек отображения Т.
Отметим, что в общем случае неподвижная точка отображения Tq (q - целое
положительное число) соответствует периодическому решению системы
уравнений (4.1.1) с периодом 2щ. Если эта точка особая, то периодическое
решение также особое *). Очевидно, понятие, введенное Уиттекером [39],
является частным случаем данного определения.
