Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
89. П л и с с В. А. К теории инвариантных поверхностей.-Диф. уравнения,
1966, т. 2, № 9, стр. 1139-1150.
90. П л и с с В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний--М.: Наука,
1964.
91-92. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. тр,-М.: Наука,
1972, т. 2.
93. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике.-М.: Наука. 1965
94. Roe Is J., Lou term an C. Normalization des systemes lineaires
canoniques et application an probleme restreinte des trois corps.-
Celest. Mech., 1970, vol. 3, № 1, p. 129-140.
95. Sans one G., Conti R. Nonlinear differential equations.- New York:
Pergamon Press, 1964.
96. 3 и г e л ь К. JI. Об интегралах канонических систем.-Математика,
1961, т. 5, № 2, стр. 103-117-
97. 3 и г е л ь К. Л. О существовании нормальной формы аналитических
дифференциальных уравнений Гамильтона в окрестности положения
равновесия.-Математика, 1961, т. 5, № 2, стр. 129-156.
98. 3 и г е л ь К. Л. Лекции по небесной механике.-М.: ИЛ, 1959.
99. Sternberg S. Celestial mechanics.-New York: W. A. Benjamin Inc.,
1969, 2 vols.
100. Szebehely V. et. al. Mean motions and characteristic exponents at
the libration points.- Astron. J., 1970, vol. 75, № 1, p. 92-95.
101. Волосов В. В. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных
уравнений.-УМН, 1962, т. 17, № 6, стр. 3-126.
102. Whittaker Е. Т. On the adelphic integrals of the differential
equations of dynamics.- Proc. Roy. Soc. Edinburg, 1916, vol. 37, p. 95.
103. Уиттекер E. Аналитическая динамика.-М.: ОНТИ, 1937.
104. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики.-М.: Наука, 1967.
105. Z е i р е 1 Н. Recherches sur le mouvement des petits planets.-
Arkir. Astron. Mat. Phys.. 1916-1917, t. 11,12,13.
ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
1. Движение, описываемое интегрируемой системой
В этом параграфе мы дадим более точную характеристику свойств траекторий,
являющихся решениями интегрируемых систем.
Мы начнем с результата Лиувилля. Пусть дана гамильтонова система
Ук = нхи, Xk = -Hyh {к = {, (3.1.1)
где функция Н=Н (у, х) аналитична в некоторой области D фазового
пространства. Если в области D' czD известны п общих интегралов Fi, ...,
Fn, находящихся в инволюции, то в области D' система интегрируема, т. е.
сводится к квадратурам. Пусть для i- 1, ..., п
Ft [у-, х) = Сг = const. (3.1.2)
В общем случае верно, что замкнутые многообразия, определяемые
уравнениями (3.1.2), являются торами, и на них движение является условно-
периодическим. В действительности можно показать, что этот вывод всегда
верен для систем Лиувилля. Точнее, можно получить следующее утверждение
[5].
Теорема. Пусть система (3.1.1) с п степенями свободы имеет п первых общих
интегралов Fi, ..., Fn, находящихся в инволюции. У равнения Fi=Ci
определяют компактное многообразие М = Мс, в каждой точке которого
векторы gradF,(i==l,... ..., п) линейно независимы в фазовом пространстве
размерности 2п. Тогда М - тор размерности п и точка (у (t), x(t)),
являющаяся решением уравнений (3.1.1) в области D\ совершает условно-
периодическое движение на М.
Эта теорема оправдывает тот факт, что мы всегда рассматриваем в качестве
интегрируемой системы систему с гамильтонианом Н = Н0(х). т. е. с
гамильтонианом, зависящим только от импульсов. В общем случае частоты
cofe = H0xh (k= 1, ..., п) будут рационально независимы, так что движение
па торах, определяемое параметрами г/ь .. ., уп, является эргодпческим, в
том
2. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
139
смысле, что траектории, покрывающие такие торы Тп, всюду плотны. Другими
словами, для данной точки Р°^Тп (где Р° = = (Уи •••,Уп)) и для
произвольного е>0 всегда можно найти такое Т(е), что для данного t из
интервала 0< t < 7(s) соотношения | yh (t) - г/й | e удовлетворяются для
всех к.
2. Возмущения интегрируемых систем
Рассмотрим систему, определяемую гамильтонианом
Н = Н0(х) + цН1(у,х,ц), (3.2.1)
где 0<ji< 1, а II1- периодическая (периода 2л) функция относительно у 1,
. . ., уп. Мы попытаемся проверить тот факт, что при этих условиях
движение возмущенной системы, соответствующей гамильтониану (3.2.1),
происходит па торе, который близок к тору, определяемому условиями хк =
х\ = const (Л=1, п).
Вначале мы остановимся на кратком описании классических методов теории
возмущений. Они заключаются в приведении гамильтониана Я, определяемого
формулой (3.2.1), с помощью последовательных канонических замен к таким
формам:
Н = H(0l) (х') -f- (у'. ж', ц),
Я = Я()2) (X") + и*Я;2) (У", х", JLI),
н = я(Л*(8)) + ^+1МЧ) (у(*\ x,s\ (.0,
Такие методы, как было видно в предыдущих главах, приводят к уравнениям
вида
П
2 If = F (ж- у) = F (х- у + 2п)>
решение которых содержит малые (если вообще не нулевые) знаменатели, а
получающиеся при этом ряды в общем случае расходятся,' даже если частоты
ак являются рационально независимыми. В последнем случае предполагается,
что п вещественных компонент вектора 0)= (coi, ..ш") удовлетворяют
бесконечному числу неравенств
П * П \ -р
