Рассеяние электромагнитного излучения сферическими полидисперсными частицами - Дейрменджан Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь функции Бесселя комплексного аргумента, которые входят в коэффициенты, содержащие Ап (у). Согласно определениям функций Рикатти — Бесселя и их производных (12), можно получить, используя свойства функций Бесселя и производя некоторые упрощения, следующую формулу для Ап (у):
AM
(у)-- J n + Vs (У)
(У)
п-Ч,
{у)
(19)
Формулу (19) можно переписать в виде рекуррентного соотношения, если принять во внимание, опустив для простоты аргумент, что
К-i (у)~-
п— 1 . J П-
п— 1 [(2n-\)ly]Jn^,2 — Jn + i/t
¦ +
'п-Ч
ИЛИ
п + Ч
'п-Ч 2
* = ±-А.
Подставляя последнее выражение в (19), окончательно получаем рекуррентное соотношение для Ап(у) в виде непрерывной дроби:
АЛУ)
J~A«-x (У)
(20)
Изучение соответствующей математической литературы не помогло провести упрощение этой специфической непрерывной дроби, которое позволило бы производить вычисления Ащ (у) в общем случае. Поэтому в практических расчетах используется само рекуррентное соотношение (20).
Глава 2. Рассеяние света отдельными частицами
35
Из выражения (19) следует, что АМ
Полагая у=втх - р — iq, где р - vx и q - кх, av их — соответственно действительная и мнимая части показателя преломления т, функцию А0 (у) можно выразить через тригонометрические и гиперболические функции вещественного аргумента:
Л t..\ _sinpcosp + «sh<7ch<7
Ло(У)г sin*p + sh*? • ( '
Формула (21) определяет производящую функцию для Ап (у), которая обычно используется для вычисления Ап (у) при любых 1, 2, 3,... Из (21) следует, что, когда т — вещественное число (случай непоглощающих сферических частиц), функция А0 (у), а следовательно, и функция Ап (у) вещественны. На этом можно закончить описание расчетной формы основных коэффициентов теории Ми, которые необходимы для вычисления соответствующих параметров рассеяния.
2.2.2. ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ А„ (у)
Поведение функции Ап (у) требует отдельного рассмотрения. Это обусловлено тем, что в некоторых случаях погрешности расчета Ап (у) могут служить причиной возникновения ошибок в значениях параметров рассеяния. Действительно, использование рекуррентных соотношений предыдущего раздела в случае металлических частиц с х>30 приводит к таким физически неприемлемым результатам, как, например, К„0ТлЖ0СЛ- Подобную ошибку можно отнести за счет потери .точности при вычислении функции Ап (у) но рекуррентной формуле (20), когда точность расчетных данных определяется числом правильных значащих цифр, выдаваемых ЭВМ.
Для иллюстрации этой трудности рассмотрим металлические сферические частицы с х~ 62 и т~ 1,28—1,37г (железо, Л,—0,441 мкм), т. е. радиус частиц приблизительно равен 4,3 мкм. Из выражения (21) легко получить, что в этом случае с очень большой точностью можно положить А„ (у) — i. Используя это соотношение для производящей функции в рекуррентном соотношении (20), замечаем, что при малых п значения Ап (у) очень близки к г, но не равны г, т. е., согласно приводимой ниже таблице, Ап (г/)»0+г.
Из таблицы следует, что вычислительная машина не может выполнять сложные арифметические операции для мнимой части функции А„ (у) с той же степенью точности, как и для ее действительной части. Естественно, эти ошибки могут накапливаться и в конечном счете привести к кажущимся колебаниям мнимой и действительной частей функции Ап (у), а также коэффициентов ап и Ьп при возрастании п. В свою
3*
36
Теория рассеяния сеема
очередь это приведет к значительным ошибкам в величине основных параметров Ми.
п Не { Ч llll {'In-'}
1 7,4327 Ю'5 0,460-10-5
5 ос Tf* 10-3 0,0698-10“3
10 4,0871 10~3 0,26201 -IQ-3
На рис. 1 нанесены значения функции Ап (у) в комплексной плоскости. Сплошная кривая показывает, что в рассматриваемом случае колебания начинаются при 36, когда расчетная точность составляет 10-8.
Re{A„}
Рис. 1. Комплексная функция Ап(у) для больших сферических частиц. Пример однократного (точки на сплошной кривой) и двойного (пунктир) контроля точности.
яг—1,28—1,37t; jc—- 62.
Из пунктирного продолжения этой кривой видно, что указанная трудность частично преодолевается, если в программе используется «двойной контроль точности». Однако даже в этом случае появляются быстро возрастающие колеба1жя при 64. Анализ первых производных действительной и мнимой частей Ап (у) как функции от п показывает, что малые ошибки начинаются соответственно при и----58 и 51. Кроме того, вторые и третьи производные показывают, что действительная часть Ап (у) является квадратичной функцией от п, а мнимая часть— кубической.
Мы не будем больше заниматься численным анализом данной проблемы по той простой причине, что двойной контроль точности обеспе-
Глава 2. Рассеяние света отдельными частицами
37
Re{An}
Рис. 2. То же, что на рис. 1. Диэлектрические сферические частицы с умеренным поглощением. Непрерывные кривые проведены через последовательные точки при nS=20 (т— 1,29—0,0472г; *--30).
чивает сходимость основных рядов, определяющих коэффициенты ап и Ьп, даже в случае достаточно больших сферических частиц. С математической точки зрения эта проблема связана с характером асимптотического поведения коэффициентов Ми при больших х, когда пжх. Этот вопрос впервые исследован Дебаем и рассмотрен в монографии вап де Хюлста [1, стр. 208 и далее!. Однако вап де Хюлст рассмотрел только вещественные значения показателя преломления т. В случае металлических сферических частиц необходимо исследовать отношения двух
