Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
сечение трубки меньше, и наоборот.
Рис. 7.12 Рис. 7.13
Возникает вопрос, под действием какой силы изменяется скорость течения
жидкости в трубке тока переменного сечения. Если жидкость течет вдоль
трубки с увеличивающимся сечением (рис. 7.12) и силой тяжести можно
пренебречь, то такой силой, уменьшающей скорость жидкости от значения Uj
до и2, является результирующая сил давления Fx = р, S, и F2 = р2 S2 (где
рх и р2 - давления жидкости в сечениях 5, и S2 соответственно).
Можно показать, что в этом случае
Pl и2 р2 и2 ^
р 1+ - ~Рг+ 0 > (7.22)
т.е. вдоль линии тока величина
Р +
ри
= const. (7.23)
Соотношения (7.22) - (7.23) называются уравнениями Бернулли.
Если жидкость течет в поле силы тяжести, то уравнение Бернулли
вдоль линии тока можно записать в виде
р + Р.У + р g h = const,
(7.24)
где h - высота линии тока относительно произвольно выбранного
горизонтального нулевого уровня (рис. 7.13). Если линия тока проходит
ниже нулевого уровня, то h < 0.
211
Рис. 7.14
Рис. 7.15
Используя уравнения неразрывности и Бернулли, можно найти, с какой
скоростью вытекает жидкость из отверстия малого сечения в нижней части
широкого сосуда (рис. 7.14).
Будем считать жидкость несжимаемой (р = const) и атмосферное давление
одинаковым на поверхности жидкости в сосуде и на высоте отверстия.
Запишем уравнение Бернулли для сечения сосуда Sx (свободная поверхность
жидкости) н сечения отверстия S2:
р и? р Uj
Ро + -~2~ + Р8и=Ро + -у- ' (725)
где нулевой уровень для h выбран на высоте отверстия. Из (7.25) получим
vl = u2i+2gh. (7.26)
Из уравнения неразрывности (7.21) следует, что
ul=u2S2/Si. (7.27)
Поскольку по условию задачи S2/Sx " 1, то и, " и2 и в выражении (7.26)
слагаемым и, можно пренебречь по сравнению с и^. Следовательно,
и2 = V2 gh. (7.28)
Это соотношение называется формулой Торричелли, в честь итальянского
физика, получившего ее за 100 лет до Бернулли.
Скорость течения воды и ее расход в водоеме можно измерить с помощью так
называемой трубки Вентури, представляющей собой отрезок трубки с сужением
посередине н датчиками для измерения давления жидкости в широкой и узкой
частях трубки (рис. 7.15). Трубку помещают горизонтально в поток жидкости
и измеряют разность давлений Ар =рх -р2, где рх - давление воды в широкой
части трубки и р2 - в узкой. Из уравнения Бернулли (7.22) (при А, = И2) и
уравнения неразрывности (7.21) нетрудно получить, что скорость воды в
потоке равна
".А.. (7-29)
Р (Si - s2 ) а расход воды через единичное сечение
r=A=.p.u-si =ou _syiШ. пз0)
5, s, pu' Sz s}-S2 ' ( }
Зная сечения трубки S, и S2, разность давлений Ар=рх-р2 и плотность
жидкости р, из (7.29) - (7.30)' можно найти скорость потока жидкости и
расход жидкости через единичное сечение.
212
Рекомендации по решению задач
Законы гидромеханики (7.6), (7.12), (7.13), (7.19) и (7.24) позволяют
решать многие задачи как по статике, так и по динамике жидкостей.
Задачи, связанные с нахождением давлений и сил давления в какой-либо
точке внутри жидкости, решаются на основании закона Паскаля и вытекающих
из него следствий. К ним можно отнести задачи на сообщающиеся сосуды.
Порядок их решения может бьггь следующим:
1. Сделать схематический чертеж и отметить равновесные уровни
жидкости, которые она занимает по условию задачи. Если даны сообщающиеся
сосуды с разнородными жидкостями, то нужно отметить уровни каждой из них.
Затем следует выбрать поверхность нулевого уровня, от которого будут
отсчитываться высоты столбов всех жидкостей. Эта поверхность должна
проходить через однородную жидкость; обычно ее выбирают на нижией границе
раздела сред (жидкость - жидкость, жидкость - воздух) или на уровне
трубки, соединяющей сосуды. Если по условию задачи происходит перетекание
жидкости из одного сосуда в другой и при этом имеется два или несколько
равновесных состояний жидкостей, то необходимо отметить высоты всех
уровней, отсчитывая их от поверхности нулевого уровня.
2. Указав высоты столбов всех жидкостей в сосудах относительно
поверхности нулевого уровня, следует записать уравнение равновесия
жидкостей. Для произвольных точек в каждом из сообщающихся сосудов,
лежащих на поверхности нулевого уровня, должно выполняться условие
Po + P\gh\ + -.. + p"ghn=p'0 +р\gh\ +... + р;. gh'K =...,
где р0, р'а - давления на свободных поверхностях верхних слоев жидкостей
(обычно атмосферное), hj, Л', рр р' - высоты столбов жидкостей и их
плотности. Если требуется решить задачу для жидкостей, находящихся в
сосуде, движущемся с ускорением а вертикально, то при составлении
уравнения равновесия следует вместо ускорения свободного падения g
использовать выражение
g' = g±a,
где знак "+" ставится, если ускорение а направлено вверх, и знак "-" -
если а направлено вниз.
3. Составив уравнение равновесия, следует, при необходимости,
дополнить его условиями, которые связывают между собой высоты А,, й2 и
т.д. Например, если жидкость перетекала из одного сосуда в другой, то
