Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
поверхности, расталкиваются зажатой между ними легкой пружиной. Начальная
энергия пружины Е = 3 Дж, массы тел /и, = 1 кг и т2 = 2 кг. С какими
наибольшими скоростями будут двигаться тела?
• Решение. Если освободить пружину, то ее энергия будет передана телам,
которые приобретут кинетическую энергию.
При движении иа тела системы действуют силы тяжести m, g и m2g, силы
реакции Л?, и #2 и силы упругости ?упр (рис. 3.52). При этом сгороиние
силы (силы реакции) направлены перпендикулярно перемещению тел и работы
ие совершают.
Следовательно, механическая энергия системы меняться не будет и в любой
момент времени 2
г- СТ1 Ц1
к
упр
упр
тш
m\g
Я
X
m2g
Рис. 3.52
"2 2
+ Е\
(1)
2 2
где о,, о2, Е'~ скорости тел и энергия пружины в рассматриваемый момент.
Поскольку первоначально система покоилась, а в горизонтальном направлении
иа систему никакие внешние силы не действуют, то проекция импульса
системы на ось ОХ ие изменится:
(Pl)x=(P2>* где />, = 0; р2 = т1 о, + т2 о2 • Следовательно,
0 = - т, о, + m, и
п2 и2*
где учтено, что скорости и, ии2 направлены в противоположные стороны.
(2)
143
Выразив, например, скорость о2 из закона сохранения импульса (2)
"1
о, = о, -
2 1 т2
и подставив в закон сохранения энергии (1)
т, о? т? о?
? = -4т-1 + ^г-1- + Е'
2 2 т2
найдем скорость тела массой от, после освобождения пружины:
ч/2 т2(Е-Е)
1 от, (от, +mj)
Аналогично, скорость тела массой т2
\1 2т{ (Е-Е)
о, = ' ------------. (4)
т2 (от, + mj)
Из (3) и (4) следует, что скорости тел будут максимальны, еелн Е '= 0:
2 т2Е
от. (ОТ, +OTj)
1 2 от2 Е
А
mav
2 Wj Е
= 2 м/с; о, = V ------------------------------------ = 1 м/с
т2 (от, + т2)
¦J 2 от, ? ЛГ
V--------------2---------= 2 м/с: и,=У -
• Ответ', и, тяу = '--------= 2 м/с; и, '-------------= 1 м/с.
1тах от^от.+от^) 2гаах от2(от,+от2)
3.78. Два тела, которые первоначально покоились на гладкой горизонтальной
поверхности, расталкиваются зажатой между ними легкой пружиной и начинают
двигаться так, что в процессе движения их максимальные скорости равны u,
= 1 м/с и и2 = 3 м/с. Какая энергия была запасена в пружине, если общая
масса тел А/= 8 кг?
щ , 3.79. На горизонтальном столе лежат
П а А А А А ------ два бруска массами тх = 1 кг и т2 = 2 кг,
v WWv тг соединенные легкой недеформирован-
ной пружиной жесткостью к= 100 Н/м Рис 3 53 (рис. 3.53). Какую
наименьшую ско-
рость, направленную вдоль пружины, надо сообщить бруску массой тх, чтобы
пружина сжалась на Ах = 2 см? Трения нет.
3.80. На гладком горизонтальном столе лежат два бруска массами тх и т2,
соединенные легкой недеформированной пружиной жесткостью к= 103 Н/м и
длиной /0 = 10 см. К брускам одновременно прикладывают одинаковые по
величине силы F= 10 Н, направленные вдоль пружины в противоположные
стороны. Найти удлинение пружины в момент времени, когда относительная
скорость брусков максимальна. Чему равно максимальное расстояние между
брусками при их движении?
• Решение. Поскольку стол гладкий, то движение брусков будет зависеть
только от сил, направленных горизонтально.
Прн движении на каждый из брусков будут действовать равные по величине
силы (постоянные силы Р и переменные силы упругости Рупр). Поэтому бруски
будут двигаться, растягивая пружину, до тех пор, пока пружина не
растянется настолько, что приложенная сила F станет равной Fynр.
Приобретя к этому моменту времени некоторую скорость, бруски будут
двигаться по инерции, продолжая растягивать пружину. После того как
пружина максимально растянется, силы упругости заставят бруски двигаться
навстречу друг другу. Прн этом, пройдя положение равновесия, бруски будут
сжимать пружину.
144
Рассмотрим произвольное положение системы, например, когда бруски
растягивают пружину (рис. 3.54).
Поскольку в начальный момент длина пружины в не-деформированном состоянии
равна /0, то к моменту време-
Л
упр.
Я
VWVWWWWWV
?
V}, 77ff777Z
m2g
X
Рис. 3.54
нн, когда тело массой ш, пройдет расстояние S', (будет иметь координату
х, = -St), а тело массой т2 - расстояние S2 (будет иметь координату х2 =
10 + S2), удлинение пружины станет равным
Лх = S', + S2. (1)
Так как работа сил реакции стола /7,, Лч равна нулю, то алгебраическая
сумма работ сторонних сил
A(F"op) = A(F) =FS, + FS2, где FS^ - работа силы /% приложенной к телу
массой /и,; FS2 - работа силы /% приложенной к телу массой т2.
Следовательно, изменение механической энергии системы
АЕ - F (S) + S2),
или
т| о, т-у о:
•г к Ах "
+ ~ - F(Sl + S2),
2 2 2 l>2 - скорости брусков в рассматриваемый момент времени.
(2)
где о,, о.
Так как в горизонтальном направлении сумма внешних сил, действующих на
систему, равна нулю, то проекция импульса системы на ось ОХ меняться не
будет:
(Р\)х ~ (Р:)\-где Р| = 0; ~р2 = ш, о, + т2 о2. Следовательно,
0 = - т, и, +ш, и.
1 1 2 2'
где учтено, что скорости и, и о2 направлены в противоположные стороны.
Выразив, например, скорость о2 из (3)
(3)
U*> - U,
и подставив в (2)
