Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
равны
(r)1,2 = йг - iyMr ±&rV/2/е0 - Уг - iyrf2/&r?0- (55.8)
Рассмотрим два предельных случая [359].
А. Выполняется условие сильной связи экситонов с фотонами
/2>е0 fr. (55.9)
В этом случае (55.8) можно преобразовать к виду
(r)1,2 = ((r)1.2 + K°r.(i)a = йг- iysQr±^&r^(Qr±-^Q - iyrl^. (55.10)
§ 55] ВЫНУЖДЕННОЕ ВРЕМЕННОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ПОЛЯ В КРИСТАЛЛЕ 455
Следовательно* частоты двух поляритонных ветвей и их затухания при Q~Qr
определяются равенствами
w'ui = Qr±f/2n0, о%лъ* - уг/2. (55.10а)
Интегрируя (55.6) с помощью теории -вычетов, находим
inc ln , (o-ie>it p-ia2t\
+ (55Л1)
Подставив в это выражение значения (55.10) и вычислив напря-
1 дА
женность электрического Ех - -и магнитного Н = rot А
полей, получим следующее выражение для плотности энергии, усредненной по
времени, сравнимом с периодом 2л/йг быстрых осцилляций поля:
W{t) = We-yr* cos2 (ft/2п0). (55.12)
Итак, в случае сильной связи экситонов с фотонами (неравенство (55.9))
плотность электромагнитной энергии в кристалле убывает с течением времени
не по экспоненциальному закону. Полученный результат справедлив и для
локальных возбуждений, так как при его выводе наличие
пространственной дисперсии
в явном виде не использовалось. Частота осцилляций плотности
энергии пропорциональна разности частот двух поляритонных ветвей при
Q=Qr¦
Введем эффективный коэффициент временного затухания -yeff с помощью
соотношения
Уе" = -/'(0) " (55.13)
о
Тогда из (55.12) следует, что при условии (55.9)
уеи^2уг. (55.14)
Кривая
We"(t)= №(0)e-Veff' (55.15)
ограничивает с осью абсцисс ту же площадь, %о и кривая (55.12).
Б. Выполняется условие слабой связи экситонов сфотонами
Р<г0у1 (55.16)
В этом случае (55.8) преобразуется к виду
3= ((c); + /ю';)2 = й* + i tol = й* - 2iyrQr.
Корень col уравнения (55.7) не дает вклада в интеграл
(55.6),
так как при со2 = со| числитель подынтегрального выражения
456 ДИСПЕРСИЯ и ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. XI
равен нулю. Значение интеграла (55.6) определяется только частотой (Oi.
При учете (55.16) оно равно
/) = fS?eXP(-4^)eXP[/(Q2~Q^)]- (55Л7)
Следовательно, изменение плотности электромагнитной энергии в кристалле
определяется экспоненциальным законом
№(0 = ^(0)ехр(-^у. (55.18)
При этом показатель экспоненты пропорционален /2, т. е. силе осциллятора
F квантового перехода в молекуле. Этот результат совпадает с расчетом по
теории возмущений.
§ 56. Электромагнитное поле в кристалле, возбуждаемое сторонними токами
на его поверхности
Предположим, что кристалл характеризуется изолированной полосой частот
Q0, которая в области малых значений волновых векторов Q имеет вид
Q0 = Q°+If' (56Л>
где т* - положительная эффективная масса экситона. В окрестности этой
полосы частот диэлектрическую проницаемость (54.2) можно преобразовать к
виду
(r) = <56'2>
Если учесть, что в области резонанса Qr = n0Qr/c и скорость экситона
Vo - fiQr/m*, (56.3)
то равенство (56.1) для резонансной частоты можно записать в виде
Q,r = Q0 + v0n0Qr/2c. (56.4)
Предположим, что на плоскопараллельную пластинку, ограниченную
плоскостями 2 = 0 и z - d, нормально падает монохроматическая волна
частоты со с напряженностью электрического поля, направленной вдоль оси
х. Эта волна на поверхностях-кристалла г - 0 и z~d создает сторонние токи
[359]:
jx (z, t) = е~ш [/0б (г) + jd& (z - d)], in 0 = /* (z> 0 = 0,
(56.5)
которые, как мы увидим ниже, связаны с амплитудами падаю-
щей и уходящей волн.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Б КРИСТАЛЛЕ
457
В соответствии с (54.9а) токам (56.5) можно сопоставить фурье-образы
U К, к) = (/о + jde-ikd) 6 (kx) 6 (ky),
jy(a>, k) = jz (со, k) = 0. (56.6)
Подставив эти значения в (54.13), получаем
-75-'(".*)
(O'4
Ая (г, t) - Аг (z, t) = 0. (56.7)
Введем новую переменную -комплексный показатель преломления
N = ^ = n + ix. (56.8)
Тогда (56.7) преобразуется к виду
оо i~Nz i - N (z - d)
0 = ~ $ сШ >* " N+_%'N)-----------------. (56.9)
- ОО
где согласно (56.2) и (56.1)
е(со, N) = e0 - a_Qo+iy_шМщ2сп0)' (56.10)
til = e0, v = Йсоп0/(cm*) (56.11)
- скорость экситона с волновым вектором соп0/с.
Выражение (56.9) справедливо - при условии, что диэлектрическая
проницаемость внутри кристалла (O^zsgd) имеет значение е(со, k) и равна
единице вне кристалла. Это приближение соответствует замене в равенстве
(54.7) тензора 5 (р, т; г) тензором 5 (р, т) для всех значений г внутри
кристалла. На самом же деле вблизи поверхности кристалла зависимость 5
(р, т; г) от г может оказаться существенной. В таких случаях понятие
феноменологической проницаемости е (со, К) можно сохранить только для
внутренних областей кристалла.
Из-за наличия границ кристалла волновой вектор k не является хорошей
характеристикой элементарных возбуждений кристалла. Спектр коллективных
электронных возбуждений и параметры, определяющие их релаксацию,
существенно зависят от условий на поверхности кристалла. Строгое решение
задачи об отражении и распространении внутри кристалла света, частота
