Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
определяет шесть отклонений (/=1, 2, 6) от равновесных
положений и ориентаций молекулы, занимающей место п. Первые три значения
/ относятся к трансляционным смещениям, остальные три -к изменениям
ориентаций.
Связь между внутримолекулярными возбуждениями и колебаниями молекул в
решетке обусловлена зависимостью матричных элементов Мпт (R) и D" (R) в
операторе (47.2) от смещений молекул R. Разлагая эти матричные элементы
по степеням отклонений от положений равновесия в кристалле без
внутримолекулярных возбуждений и сохраняя (для простоты) только члены,
линейные по смещениям, получаем
Hq = НСх + U (R) + H\nt -f- Hint, (47.4)
где
Hex = Е [Д? + D (0)] В+В" + 2' М'птВ^пВт (47.5)
п п, т
- оператор экситонных возбуждений при жестком закреплении молекул в
узлах решетки,
**-2 В1В~1 ¦ (47-6) п,т 1 = 1
+ (47J)
гг, т I- 1
Операторы (47.6) и (47.7) определяют взаимодействия внутримолекулярных
возбуждений с колебаниями решетки. Значок нуль у фигурных скобок
указывает, что производные по смещениям берутся при нулевых смещениях.
В приближении малых колебаний относительно равновесных положений (R = 0)
оператор потенциальной энергии
и (R) = и (0) + ~ ?
п, т
I, V
Постоянное значение II (0) далее будет опускаться. Добавив к U (R)
кинетическую энергию колебаний
rt, I
и переходя от классического описания к квантовому, получим гамильтониан
колебаний молекул в решетке
tfvib = 2 0я) [b+gsbgs + \] (47.8)
s-9
370 ЭКСИТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ [ГЛ. X
и оператор смещений
=2Y иЛ(tm) е'(д) ф5? ехр {iqn)' (47-9)
ф5 q^bqs + b-q,s, (47.10)
где jV -число элементарных ячеек в кристалле; bgS, bqs - бозев-ские
операторы рождения и уничтожения фононов ветви s (s = = 1, 2, , 6) с
волновым вектором q и энергией frQs(q); It -
массовые коэффициенты, соответствующие поступательным и вращательным
степеням свободы молекул; е\ (q) - 1-е компоненты единичных векторов
поляризации колебаний ветви s, удовлетворяющие условиям
Е es(<7)<(<7i) = 6sA?,.
/=1
Проведя в (47.6), (47.7) преобразование (47.9) и полагая
B"=w2B^exp^' (47-п)
ь
получим оператор Гамильтона системы взаимодействующих экситонов и фононов
Н = Нех-\-Нчib + H\ni -{-H'int, (47.12)
где
Hex='?h">(k)B+(k)B(k), (47.13)
k
Па (k) = AE + D (0) + S' (47.14)
m
H\nt = y~ 2 Fs^k' q)B+ (к + Я) В (*) (47-15)
s, q, k
Hmi = ^ %s(Q) (&) B(b) tysq* (47.16)
s, q, k
При этом функции связи экситонов с фононами определяются выражениями
Fs(k, q) = Ft(k + q, - q)=* 2 (ЛЛ". Я, т) Мйт\ exp (ikm),
l.m^O I Jo
(47.17)
%S (я) = &+ (- я) = 2 /Лi(s, q, m)Dom\ , (47.18)
l, mjb 0 I, Jo
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В МОЛЕКУЛЯРНЫХ КРИСТАЛЛАХ
371
где
At(s, <7. tri) = е\ (q)
Будем называть взаимодействие экситонов с фононами слабым, если
выполняется неравенство
Явный вид функций связи (47.17) и (47.18) легко получить для одномерной
модели кристалла [315, 316]. Если вектор решетки п = па (п = 0, ±1, ±2,
...), й - дипольные моменты внутримолекулярных переходов, а дисперсия
акустических и оптических колебаний решетки определяется выражениями
- ширина экситонной зоны; 0 - угол между d и а; Р2 = fl/2Mv0 -
среднее значение квадрата амплитуды нулевых колебаний гармонического
осциллятора с массовым коэффициентом М и частотой v0; ¦f == й/2/Qq -
среднее значение квадрата амплитуды нулевых либраций молекул с моментом
инерции I.
Функции (47.18) в-случае одномерной модели кристалла для акустических и
оптических колебаний имеют вид
Fs(k, <7)|>Ы<7)
(47.19)
и сильным, если выполняется неравенство
Fs(b, q)\<\ts(Q)\-
(47.20)
то
Fopt(k, q) = 3L
fac (ft, <7) = -/3/Д
7 sin :
al cos -g- qal
(47.21)
JS2 -O' Jm. Г 1
i^i I3 у l+ -2 |cos (qa)
L = ~( l-3cos2 0)
где
372
ЭКСЙТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕИСТВИЕ
[ГЛ. X
где Са и С0 - коэффициенты, зависящие от взаимной ориентации молекул и
пропорциональные разности их поляризуемостей в возбужденном и основном
состояниях.
Вычисление функций связи (47.17) и (47.18) в общем случае трехмерных
кристаллов связано с большими трудностями. В простых кубических
кристаллах при учете взаимодействия ближайших соседних молекул можно
пользоваться приближенными выражениями
3 ' ____________
1Лс(*. ?) I ~ 2 ^cos [(*+h)a'\Y\sin (т И"
3
l^opt {k, q) | "а 2 У'В cos [(* + У q)a*] cos (t qa') •
где
r - 2d2 (] 3(<to,)"\ . 16 d*
1 e0a3 \ d2a\ ) ' e0a3 '
a -постоянная решетки, e0 - диэлектрическая проницаемость, обусловленная
другими электронными состояниями.
В области малых значений q и эти выражения еще
более упрощаются
з
^ас (0, q) ъ* 2 &L'a~1 [1 ~ Pf)2] V\Qai\y (47 -22)
Fopt (0, q) ъ J ВЪ f1 - (^)2J- (47.23)
Функция /'"ас (0, q) пропорциональна q при малых q, равна нулю в центре и
на границах зоны Бриллюэна в ^-пространстве; функция Fopt (0. Q)
принимает максимальное значение в центре, приближенно постоянна при малых
q и равна нулю на границах зоны Бриллюэна. Поэтому молекулярные экситоны
в основном взаимодействуют с предельными (q^ 0) оптическими фононами.
§ 48. Оптические свойства системы взаимодействующих экситонов и фононов
