Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
f.k
где
М*)= 2 ехр [ift (я - т)]. (44.21)
Оператор (44.20) диагонален-относительно операторов A^(ft)=c
- Bf (k) Bf \k) чисел заполнения возбужденных состояний ft, /. Его
собственными функциями будут j..., Nf (ft), ...), где квантовые числа
Nf(k) = 0, 1, 2, ... указывают число возбуждений типа к, f, каждое из
которых называется молекулярным (или френкелевским) экситоном. Напомним,
что мы рассматриваем только возбужденные состояния кристалла, при которых
Nf(k)^N. Экситонным состояниям соответствует энергия ^
Ef - Lf (k). (44.22)
Итак, невырожденному возбужденному состоянию свободной молекулы в
кристалле соответствует N различных возбужденных состояний, отличающихся
значениями волновых векторов ft из первой зоны Бриллюэна. В кристаллах
больших размеров (по сравнению с постоянной решетки) они образуют
квазинепрерывную полосу возбужденных состояний, состоящую из N
подуровней. Каждое возбужденное состояние, относящееся к определенному
значению волнового вектора k, является коллективным возбужденным
состоянием всего кристалла.
§ 44] ВОЗБУЖДЕНИЯ С НЕПОДВИЖНЫМИ МОЛЕКУЛАМИ 335
Обращая преобразование (44.18), получаем
Щ (к) = 2 Вп1 ехР (ikn)• (44.23).
П
Из вида этого оператора следует, что в образовании экситонного состояния
все молекулы кристалла играют одинаковую роль. Возбуждение "охватывает"
весь кристалл целиком.
Явная зависимость энергии экситонных. состояний кристалла от волнового
вектора определяется суммой (44.21). В кристаллах, с центром симметрии в
области малых значений k для каждого заданного единичным вектором s
направления, энергия возбуждения (44.22) квадратично зависит от
абсолютного значения k:
E(sk) = E(s)+^~, (44.24)
где величина т* (s) называется эффективной массой экситона. В общем
случае и Е (s), и т* (s) зависят от направления единичного вектора s.
Поэтому при k = 0 функция Е (sk) язляется неаналитической функцией
волнового вектора k. Эффективная масса экситона т* (s) может быть как
положительной, так и отрицательной. При положительной эффективной массе
энергия экситона возрастает при увеличении вектора k, при отрицательной -
уменьшается.
Б. Учет нескольких близких молекулярных уровней. Предположим, что
молекула обладает ст возбужденными уровнями /, g= 1, 2, ..., or, для
которых матричные элементы Mf"gm имеют абсолютную величину, близкую
абсолютной величине матричных элементов Mfnm и М?,т, а для всех других
возбужденных молекулярных состояний I выполняются неравенства
M*m, Men,n<Mfnm, Мепт.
В этом случае оператор (44.13) можно записать в виде
ДЯ = И11 (Л</+-0/)ВД</+ S' 2 M&B+fBw. (44.25)
п f - 1 п, mf, g = l
Диагонализация оператора (44.25) осуществляется в два этапа. Вначале
проведем каноническое преобразование
в+т 2 Bf{k) ехр {ikn)* <44l26>
' к
Тогда (44.25) преобразуется к виду
дя= ^ (k) Bf (k) Be(k),
к, g.f
(44.27)
336 КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КРИСТАЛЛАХ [ГЛ.IX
где
(k) = (A'ty + Dj) 8fe + U" (к), (44.28)
U* (к) = 2 ехр [ik (п - т)]. (44.28а)
m
Дальнейшая диагонализация оператора (44.27) осуществляется (см. [5], §
52) каноническим преобразованием
Bj(k) = Yiuig(k)ag(k) (44.29)
s
с помощью матрицы (ufg(k)), удовлетворяющей условиям унитарности
а а
У - У] = hg[. (44.30)
/=i /=i
Новые операторы at (к) подчиняются бозевским перестановочным соотношениям
[af(k), a+g(k')] = 8kk'8fg, [af(k), ag(k')] = 0.
С помощью преобразования (44.29) оператор (44.27) преобразуется к
диагональному виду
Д H^E}(k)af(k)af(k)t (44.31)
к, f
если Ef(k) и uJg(k) для каждого фиксированного значения k удовлетворяют
системе однородных уравнений
(Xst (k) - Es (k) 6et) us} (k) = 0. (44.32)
f~-
Условие нетривиальной разрешимости этой системы сводится к уравнению о-й
степени относительно Е (k):
det {?gl (k) - E (k) 8gf} = 0.
а корней Es(k) этого уравнения определяют о экситонных зон, некоторые из
них могут полностью или частично перекрываться.
В частном случае, когда а -2, унитарную матрицу usf(k) удобно искать в
виде
".,(*)= (C0S<PW (44.33)
j > \sin ф (At) cos ф(ft)/' v '
Тогда система уравнений (44.32) принимает вид (X11 (k) - Е) cos ф - L12
(k) sin ф = 0,
L21 (k)smq>-\-(?22 (k)-E) cos ф = 0.
ВОЗБУЖДЕНИЯ С НЕПОДВИЖНЫМИ МОЛЕКУЛАМИ
337
Следовательно,
Es(k) = ±{%"(k)+X**(k)-l- \)sV[^n(k)-X^(k)]2+4\L12(k)f},
(44.34)
s = 1,2. Каждому значению Es(k) соответствует функция ys(k), определяемая
равенством
tg W-. (44.35)
Из (44.34) следует, что вклад второго возбужденного внутримо-,
лекулярного уровня в экситонное состояние, соответствующее первому
внутримолекулярному А<х уровню (или наоборот), имеет существенное
значение только при выполнении неравенства
(X11 (к) - %22 (k))2 < j L12 (k) j2.
Если выполняется обратное неравенство, то роль "смешивания" разных
молекулярных состояний малосущественна и можно использовать приближение
одного возбужденного уровня.
44.2. Молекулярные экситоны в кристаллах с несколькими молекулами в
элементарной ячейке. Рассмотрим оператор (44.13) при условии, когда в
