Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующую точку другого кристалла. Математически условия Борна -
Кармана сводятся к утверждению, что операторы трансляций на векторы Nidi
(г = 1, 2, 3) тождественны оператору трансляции на нулевой вектор, т. е.
Т = Т Мга2 - Тм3а3 - Tq. (4-1)
Основной кристалл содержит N = NxN2N3 элементарных ячеек. Если объем
элементарной ячейки и, то объем основного кристалла V = vN. Положение
элементарных ячеек в основном кристалле определяется векторами решетки п,
пробегающими N значений. Соответственно, имеется N операторов трансляций
Т", которые образуют Л^-мерную группу трансляций. Эта группа Абелева,
поэтому все ее неприводимые представления одномерны. Следовательно,
собственные значения операторов трансляции невырождены.
Для определения собственных функций я|>(/") и собственных значений tn
оператора трансляции Т" надо решить уравнение
= (4-2)
Оператор трансляции Т" преобразует г в г-\-п. При этом собственные
функции 'ф(г) преобразуются (см. [5], § 18) в соответствии с равенством
T"ty (/*)='ф(/* - п). Таким образом, уравнение
(4.2) сводится к уравнению
Ч>(г-л) = /,,Ч>(г). (4.3)
Из условия нормировки функции г|) (г) в основном объеме V кристалла и
равенства
^ I 'Ф (г - п)\2 <РГ - § I 'Ф (Ol2 dsr, v v
следующего из трансляционной симметрии кристалла, получаем с помощью
(4.3) г
] /" |2 = 1
или
= exp (- ikn), (4.4)
где Л - произвольный вещественный вектор, имеющий размерность, обратную
длине. Таким образом, собственные значения (4.4) и собственные функции %
(/*) оператора трансляции характеризуются
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ТРАНСЛЯЦИИ
21
вещественным вектором к, т. е.
7ViMr) = exp( - ikn)tyk(r). (4.5)
Для определения области изменения k рассмотрим векторы
k' = k + g, (4.6)
где g- произвольный вектор обратной решетки кристалла. Непосредственно из
определений векторов п (2.1) и g (3.1) следует, что exp (- ng) - 1. Таким
образом, векторы k' (4.6) и k эквивалентны по отношению к собственному
значению exp (- ikri) оператора трансляции. Неэквивалентные векторы k
могут находиться, следовательно, только в одной из основных ячеек
обратной решетки. Обычно в качестве таковой выбирают первую зону
Бриллюэна (центр зоны совпадает с ft = 0). Этот выбор предпочтительнее
других, так как при этом, с одной стороны, можно ввести, как мы увидим
ниже, понятие квазиимпульса p = Hk\ с другой стороны, первая зона
Бриллюэна ясно отражает свойства симметрии кристалла.
Итак, собственные значения и собственные функции оператора трансляции
классифицируются значениями волнового вектора k, лежащими в первой зоне
Бриллюэна ft-пространства. Такие волновые векторы называются
"приведенными".
Явное вычисление допустимых значений приведенных волновых векторов k
можно сделать, если учесть, что согласно (4.1) собственные значения
операторов трансляций должны удовлетворять равенствам
exp (- ik d\ Nx) = exp (- ika2N2) = exp (- ika3N3) = 1 (4.7)
Используя (3.3), легко убедиться, что эти равенства удовлетворяются, если
k='?lbivi/Ni, (4.8)
<=1
где bi - элементарные векторы обратной решетки, v( - целые числа 0, ±1,
±2, ..., абсолютные значения которых ограничены условием, чтобы все
значения k лежали внутри первой зоны Бриллюэна, или равновеликого
примитивного параллелепипеда, т. е. при условиях
- n<.kdi^n, 1= 1, 2, 3. (4.9)
При выполнении этих условий выражение (4.8) определяет N различных
значений приведенных волновых векторов к. Каждое из этих значений
соответствует неприводимому представлению группы трансляций.
22 СИММЕТРИЯ И СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. I
Расстояния Aft/ между соседними значениями к вдоль элементарных векторов
bi обратной решетки согласно (4.8) равны
А*, = &,/#,. (4.10)
Чем больше Л^, тем меньше Aft;. Из выражения (4.10) следует, что один
приведенный волновой вектор приходится на объем ft-пространства, равный
N
Afti [Aft2 Aft3] = (2л)3/Nv, поэтому в единице объема ft-пространства
имеется 7^3 различ-
(Лл)
ных волновых векторов. В связи с этим при больших N сумму по векторам ft,
лежащим в первой зоне Бриллюэна, можно заменить интегралом по правилу
(4.11)
ft
где интегрирование выполняется по объему первой зоны Бриллюэна.
В простой кубической решетке первая зона Бриллюэна имеет форму куба.
Значения приведенных волновых векторов определяется выражением
* = ^ а* + jfy аУ + 7j~ а*)' где Vi - целые числа, удовлетворяющие
неравенствам
- 1UNi<vl^1/iNl, i = x, у, г.
Перейдем к выяснению физического смысла приведенного волнового вектора
ft, используемого для характеристики стационарных возбужденных состояний
кристалла. ,Если ft определен в первой зоне Бриллюэна (центр зоны
совпадает с ft = 0), то каждому абсолютному значению ft можно сопоставить
длину волны К возбужденного состояния с помощью равенства
I ft [ = 2лД. (4.12)
Следовательно, центр зоны соответствует значению /. = со, а ее границы
значениям 1 = 2а, где а -расстояние до ближайшего (в направлении ft)
трансляционно эквивалентного атома в решетке. В состояниях с 1 = 2а эти
