Теория оптических приборов - Чуриловский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
сопряженный с элементом dl. Необходимо уточнить: здесь речь идет о
сопряжении в смысле оптики Гаусса; при этом точечного изображения каждой
точки элемента dl в соответствующей точке элемента dl' может н ие быть.
Только для сопряженных точек Л и Л' мы предположим условие точечного
изображения выполненным, вследствие чего должно быть справедливо
выражение
1АА'] = constj. (V. 112)
Рис. V. 15
Мы предполагаем, следовательно, что оптическая длина пути постоянна вдоль
всех лучей, соединяющих точкн Л и Л'. Наша задача заключается в том,
чтобы точечное изображение распространилось на все точкн элементарна
следовательно, и на точку Л
Представим себе далее одни из лучей, связывающих по условию (V. 112)
точки Л н Л', например луч АВСА\ проходящий на своем пути через
оптическую систему (не показанную на чертеже) и образующий с элементом dl
угол а, а с элементом dl' - угол а . Проведем через точку А\ луч
А\В\С\А'и параллельный лучу АВ в пространстве предметов. В пространстве
изображения лучи СЛ и C\Ai не параллельны друг другу, а скрещиваются, не
пересекаясь (в частном случае они могут, конечно, и пересекаться).
В пространстве предметов опустим нз точки Ах перпендикуляр Л ХВ на луч
АВ. Оба луча АВ н АгВг нормальны к отрезку АХВ. Поэтому последний можно
рассматривать как элементарный отрезок, лежащий на некоторой
фиксированной волновой поверхности. Пусть далее в пространстве
изображений отрезок ССХ представляет кратчайшее расстояние между
скрещенными лучами СА и С1Л1. По известной теореме стереометрии можно
утверждать, что оба луча СЛ н С1Л1 нормальны к кратчайшему расстоянию ССХ
между ними. Поэтому и элементарный отре-зйк ССj можно считать лежащим на
фиксированной волновой
485
поверхности, нормалями к которой служат лучи СА и CiAi. По закону
таутохронизма оптическая длина хода лучей, между волновыми поверхностями
АХВ н ССХ постоянна. Поэтому
\ВС] = \Afiil (V. ИЗ)
Мы хотим, чтобы изображение точки А г было точечным. В таком случае по
условию образования точечного изображения должно выполняться следующее
выражение:
[А.Аг] - const2. (V. 114)
Здесь справа стоит константа, отличная от константы формулы (V. 112).
Пользуясь чертежом, можно написать вместо (V. 114)
[Л[С[] + п С\А\ = const2. (V. 115)
Формулу (V. 112) также можно представить в виде выражения пАВ Ч- [ВС] +
п'СА' = constlt (V. 116)
Из точки А опустим перпендикуляр А\В на луч СА . Отрезок С А' можно
представить как разность отрезков СВ' и А В г-Поэтому получим вместо (V.
116)
пАВ + [ВС] Ч- п'СВ' - п'А'В' = const!. (V- 117)
Отрезок СВ' есть расстояние между концами перпендикуляров, опущенных из
концов отрезка CiAi иа луч СВ . Поэтому отрезок СВ есть ортогональная
проекция отрезка С\А\ на луч СВ и выражается формулой
СВ = CxA'iCosdy = С\А\, (V. 118)
Здесь dy - бесконечно малый угол между лучами СА и С1Л1,
косинус которого отличается от единицы на преие-брежимую величину высшего
порядка.
Вследствие (V. 113) и (V. 118) выражение (V. 117) напишется
так:
пАВ Ч- [Л1С1] 4- пСхА\ - п А В = consti. (V. 119)
Вычитая теперь из выражения (V. 119) выражение (V. 115), находим
пАВ - п'А'В' = dc. (V. 120)
Здесь dc - константа, отличная от предыдущих.
Из треугольников АВА\ и А В А\ можно получить выражения:
AB=dlcosa; I A'B'^dV Cosa'.j 1 '
486
Вследствие этого найдем из формулы (V. 120)
п dl cos а - n'dl' cos а' = dc. (V. 122)
Это и есть закон косинусов, впервые полученный А. Конради Однако в такой
форме эта закономерность мало годится для практического применения, во-
первых, потому, что в ней присут. ствуют бесконечно малые отрезки dl н
dl', и, во-вторых, потому что в ней имеется неопределенная постоянная dc.
Устранить из выражения (V. 122) бесконечно малые величины можно почленным
делением его на dl. При этом следует учесть, что dVfdl есть линейное
увеличение V оптической системы, а dc/dl - некоторая неопределенная, но
конечная константа С. Таким образом, получим второй вид закона косинусов
п cos а - n'V cos а' = С. (V. 123)
Исключение неопределенной постоянной С требует введения начальных
условий. Пусть среди множества лучей, соединяющих точкн А и А', имеется
один луч, для которого нам заранее известны углы Оо и ао, образованные
этим лучом с элементарными отрезками dl и dl'. Такой луч мы назовем
начальным лучом. Для начального луча нз выражения (V. 123) следует
ncosa0 - n'KcosctQ - С. (V. 124)
Исключая из выражений (V. 123) и (V. 124) величину С, найдем я (cosa-
cosa0) - n'V (cosa'- cosaj) = 0. (V. 125)
Для придания закону косинусов более симметричной и легче запоминающейся
формы решим это уравнение относительно V
у - п a - вд 126)
п' cosa' - cosa0 '
Это выражение закона косинусов в наиболее удобном для практического
применения виде.
Закону косинусов, а также и другим, получаемым из него закономерностям,
присуще одно особое свойство, которое здесь следует подчеркнуть. Раньше
всего заметим, что закон косинусов выполняется в том случае, еслн,
подставляя в формулу (V. 126) всевозможные пары значений углов а н а' в
