Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
A sin е , . .
х = -- cos (pt - е),
где
. рл
tg е = -5-?--5- •
& га2 - р2
Такое колебание называется вынужденным; оно является ответом на
воздействие силы оказанное на систему (х) извне. Амплитуда вынужденного
колебания пропорциональна амплитуде силы А, а период тот же, что и период
силы.
Работа возмущающей силы на вынужденном движении системы (х) за период
силы всегда положительна
2 Я
А2 sin2 е f , , , .
р, \ у х ас =------------ \ cos2 pta pt -
о
2Я
Л2 sin е cos е , , лАг sin2 е
--------_-----v sin pt cos ptd.pt - -----------•
рх, J рх
о
ибо
2Я
^ cos2 и du ~ п, о
2Я
§ sin и cos udu == 0. о
Работа эта имеет наибольшую величину при sin 2 е - 1, т. е. когда фаза
вынужденного колебания отстает на четверть периода от фазы силы, что
имеет место, если период возмущающей силы совпадает с собственным
периодом колебаний системы (х), иначе п = р.
В случае равных периодов трение должно быть принято во внимание, как бы
мало оно ни было и как бы ни был незначителен его результат при п и р, не
равных друг другу.
Это соображение высказано Релеем.
Если трение отсутствует и периоды равны п = р, то отвечающая
характеристическая Я-матрица
II А,2 + га2 -рА. ||
1 0 А,2 -j- п- |
имеет непростой элементарный делитель
(Я2 + п-)\
и, значит, сколь бы мала ни была амплитуда колебаний у, необходимо
появятся вековые члены. Равновесие системы (х) будет
96 ГЛ. 5. ДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ НА РАВНОВЕСИЕ
неустойчивым. Уравнения в вариациях для вынужденного движения
А А
и = - cos pt, х - -п- t sin pt
цр ? 2p r
будут того же типа, лишь вместо х, у будут стоять их вариации;
элементарные делители будут теми же, и, значит, вынужденное движение
будет неустойчивым.
Когда же периоды равны п = р и существует трение х > О, элементарные
делители для характеристической Х-матрицы системы (22)
А2 ~ XX - Я2 flX
О X* -I- л2
будут простыми
(X2 4- п2), к1 -г хк + п2.
Стало быть, как бы мало трение ни было, в решении системы (22) уже не
будет вековых членов: равновесие системы будет устойчивым в том смысле,
что всегда возможно найти столь малое А, чтобы абсолютные значения х не
превосходили заказанную наперед грань.
42. В настоящей главе установлены предложения лорда Кельвина, имеющие
большое значение. Возмущенные движения механической системы вблизи
устойчивого положения равновесия, где потенциальная функция действующих
сил имеет минимум, имеют колебательный характер, и наоборот. Добавление
диссипативных сил не нарушает устойчивости и неустойчивости равновесия
материальной системы, существующего йри потенциальных силах. Добавление
же гироскопических сил, не нарушая устойчивости таких положений
равновесия, в некоторых случаях, когда равновесие имеет неустойчивость
четной степени, а диссипативные силы не имеют полной диссипации, может
стабилизировать неустойчивое равновесие.
Первое из этих предложений имеет свое строгое выражение в теореме
Лагранжа об устойчивости изолированного положения равновесия при
максимуме силовой функции. Что же касается других предложений, то в связи
с ними возникает вопрос, будут или не будут сохраняться в
действительности явления, подмеченные лордом Кельвином из рассмотрения
первого приближения уравнений возмущенного движения.
К последнему вопросу приводят многие важные инженерные задачи.
ГЛАВА 6
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
Основные теоремы
До работ Ляпунова в исследованиях устойчивости ограничивались
рассмотрением одного первого приближения. В подобных исследованиях можно
прийти к ошибочным выводам. Ляпунов поставил и разрешил вопрос, когда
уравнения первого приближения полностью разрешают задачу об устойчивости
и неустойчивости.
43 [24]. Пусть дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид
где Xs суть голоморфные функции хг, . . хп, начинающиеся в своих
разложениях с членов не ниже второго порядка, a р.т суть постоянные.
Теорема Ляпунова. Если вещественные части всех корней Xs
характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то
невозмущенное движение асимптотически устойчиво, независимо от членов
выше первого порядка малости Xs.
Доказательство. Если вещественные части всех корней Xs отрицательны, то
ни для каких неотрицательных ти . . ., тп, имеющих в сумме 2, не может
уничтожиться выражение
Следовательно, существует определенно-отрицательная квадратичная форма с
постоянными коэффициентами W, удовлетворяющая уравнению
dx
s
Psl'X'l Ршп*п ~~Ь ^S • * *т
(23)
dt
Тогда
4 Н. Г. Четаев
98
ГЛ. G. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
будет определенно-положительной независимо от Xs, что и доказывает
теорему.
44 124]. Теорема. Если среди корней характеристического уравнения
найдется по меньшей мере один с положительной вещественной частью, то
невозмущенное движение неустойчиво, независимо от членов выше первого
порядка малости.
Доказательство. Пусть корень Ях имеет наибольшую положительную
вещественную часть и пусть х - положительное число, меньшее аг - Re Ях.
