Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
нуля. Но определитель D имеет вид треугольника, так как в его г-й строке
все элементы до г-ro будут нулями; по диагонали определителя D будут
стоять величины
axXi -f- . . . + (ХкА-к.
Поэтому определитель D будет отличным от нуля, если не уничтожается ни
одно выражение а^ + . . . + при целых
неотрицательных as, дающих в сумме т. В этом случае интересующее нас
уравнение будет иметь для V единственное решение.
Перефразируя этот результат в начальных переменных xs, имеем теорему
Ляпунова: когда корни . , ., Кп характеристического уравнения А (Я)
таковы, что при данном целом
76
ГЛ. 4. О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
положительном т для них невозможны никакие соотношения вида
в которых все as были бы целыми неотрицательными числами, дающими в сумме
т, то всегда можно найти и притом только одну целую однородную функцию V
степени т величин. хя, удовлетворяющую уравнению
при произвольно заданной целой однородной функции U величин хя той же
степени т.
35. Можно заметить, что необходимым и достаточным условием для того,
чтобы характеристический полином А (Я) имел все корни с отрицательными
вещественными частями, является определенная положительность квадратичной
формы V, разрешающей уравнение
где U представляет какую угодно определенно-отрицательную квадратичную
форму переменных xs.
Действительно, достаточность этого условия следует непосредственно из
теоремы Ляпунова об устойчивости и дополнения к ней об асимптотической
устойчивости.
Необходимость усматривается не более сложно. Если все корни ks имеют
отрицательные вещественные части, то ни для каких целых неотрицательных
чисел а, дающих в сумме 2, не существует соотношения вида
а это по предыдущей теореме п. 34 означает, что интересующее нас
уравнение будет иметь единственное решение в виде некоторой квадратичной
формы V переменных xs. При этом форма V будет такова, что выбором
значений переменных xs ее нельзя сделать отрицательной, так как иначе она
удовлетворяла бы всем условиям теоремы Ляпунова о неустойчивости; но
движение не может быть неустойчивым, если все корни характеристического
уравнения имеют отрицательные вещественные части. Итак, V необходимо
будет по крайней мере положительной. Если предположить ее приведенной к
сумме квадратов V = v\ + . . . -}-где Vj обозначают независимые между
собой линейные формы переменных xs, замечаем, что т не может быть меньше
п, так как тогда производная V', обращаясь в нуль при = О, . . ., vm = =
0, не могла бы совпадать со знакоопределенной функцией U.
S
S
ТЕОРЕМА ГУРВИЦА
77
Доказанное предложение позволяет установить, в зависимости от вида
определенно-отрицательной формы U, ряд критериев, равносильных критерию
Гурвица. Критерии эти состоят из неравенств, какие выражают
положительность всех главных диагональных миноров дискриминанта
квадратичной формы V. Хотя они ничуть не проще неравенств Гурвица, однако
имеют то удобство, что позволяют после проделанных вычислений при
определении неравенств непосредственно писать нужную функцию V прямого
метода.
36. Пример. Рассмотрим твердое тело массы m с моментами инерции А, А, С
относительно осей х, у, z центрального эллипсоида инерции. Если и, v, w а
р, q, г суть проекции на эти оси соответственно скорости центра инерции и
угловой скорости вращения тела, то живая сила будет:
2 Т - m (и2 4~ v* 4- w2) + (Ар2 + Ад2 + С г2).
Вообразим, что на тело действуют: сила (-ом, -av, -aw), приложенная в
постоянной точке тела (О, О, I), сила (О, О, Z), приложенная в центре
тяжести, и пара сил с моментом (О, О, N). Пусть для простоты
положительные функции а и Z зависят от и, v, w, р, q, а функция N зависит
от и, v, w, р, q, г; пусть А С,
Дифференциальные уравнения движения такого тела возьмем для удобства в
известной форме Кирхгофа
m ~ - (гг - qw) - ои, А = (А - С) qr l alv,
m ^ - m (pw - ru) - av. A = (С - A) rp - alu.
m 111 ~ m - Pv) - aw ~~ С ~St ~ ^ '
Допустим, что уравнения эти имеют частное решение
и ----- 0, v -- 0, w = iv0 4> 0, р ----- 0, q - 0, г гп 0; оно
существует, если
Z, - о0w0 ----- 0 и ,V0 -- 0.
Зададимся вопросом об условиях, при которых это частное решение буДет
асимптотически устойчивым в первом приближении по отношению к переменным
и, v, w, р, q, г.
Дифференциальные уравнения первого приближения для возмущенного движения
по отношению к интересующим нав величинам и, v, w, р, q, г имеют
следующий вид, если вариации этих переменных соответственно обозначить
через а, |3, у; ц, ?:
78
ГЛ. 4. О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
А = (А - С) г011 + <j0Zp,
А ^ = (C-A)r0t-o0la,
где все частные производные взяты при значениях
u = v = p = q = 0, w = w0, г = г0.
Для этих уравнений в вариациях характеристическое уравнение имеет вид
для отрицательности двух очевидных корней уравнения А (X) = 0. Условия
отрицательности вещественных частей других четырех корней уравнения могут
быть получены по теореме Гурвица путем развертывания в полином
выписанного определителя четвертого порядка и вычисления диагональных
