Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Из вариационного уравнения (2) можно также получить уравнения, которые можно рассматривать как уравнения моментов количества движения. Для этого возьмем следующие значения независимых вариаций:
Ьхк — ък.\У‘ баі, бца = бЛа = бц*° =Sg^ = SS = O.
Здесь г1Э1 = г (xk) — радиус-вектор точки с координатами Xk относительно начала системы координат наблюдателя, ба/э/= 6«—произвольный постоянный вектор. Подставляя эти вариации в (2) и учитывая (5), (9) и то, что уравнение (2) справедливо при любом объеме Vs и любых Z1 и /2» получим уравнения
pD (?ijkripk) + V, [рєГ.У XrcIl - hjkr! Vkr + **')]-
-Zijh т/* = 0, (13)
которые можно рассматривать как уравнения моментов количества движения. Они являются следствием уравнений (4) и (7).
Далее, по определению положим
Л=|^а _gl H*Ha-U{gab, ц*. V^, g*b, S, хв). (14)
Используя равенство (12), для плотности полной энергии сплошной среды и магнитного поля получим обычное выражение [4]
ДОПОЛНЕНИЕ
277
из которого следует физический смысл функций U и Л. Если вместо (14) постулировать соотношения (15) и pa = va, то равенство (14) может быть получено из (12).
Уравнения (6), (7), (8), (4) и уравнение энергии после подстановки в них выражения для А принимают вид
которые ВЫПОЛНЯЮТСЯ тождественно, если В и E выражены через потенциалы А и ф.
Феноменологическая таблица необратимых процессов. Уравнение баланса энтропии (11) можно преобразовать к форме
Обозначим приращение энтропии за счет внутренних необратимых процессов через CliS и предположим, что
Величина Q1 характеризует необратимые эффекты за счет пластических деформаций и магнитного гистерезиса, а величина а2 —за счет теплопроводности, электропроводности, релаксации намагниченности и вязкой диссипации. Согласно второму закону термодинамики диссипативная функция а удовлетворяет неравенству о ^ 0.
В термодинамике необратимых процессов обычно предполагают, что функция диссипации является функцией обобщенных термодинамических сил или потоков [12, 14, 15]. Поэтому будем считать, что величина а зависит от обобщенных термодинамических сил
dU „ „ dU , I „ „ dU
dS~ ' Па~Щ&+ р сРж~&-Па'
rot° Н = ~ ja, pDvk = Vr (Tkr + ікгУ,
(16)
(17)
(19)
(18)
(20)
К этим уравнениям следует добавить уравнения
div? = 0, rot E =------------------??,
с dt *
(21)
(22)
I / dvia
^i=-Y qaVaT + ; йЕа + %abVbVa + Pha -Jf .
pTdiS = o dt, д -Oi + O2-
(23)
d\i*a de*b
d\xa
^78 ДОПОЛНЕНИЕ
определяющих параметров (1) и некоторых добавочных параметров которые являются заданными функционалами от совокупности величин (1).
Зададим зависимость а от своих аргументов и, согласно общей теории необратимых процессов [12, 14, 15], примем, что обобщенные потоки
р Ra, р Rab, — ~яа> /в. Toft, Pft0 определяются равенствами
PRa =Vi Гы~*аШ . PKaft=Yi- д°
д (d\i*ajdt)' д (de*b/dt) ’
-Jrqa=Vt S(VaT) ’ ,a=v*al^’ ^
= fen. Pfta=v«; да
¦д (V„va)' г* "d(dnaldty
которые представляют собой обобщение принципа Онсагера. В (24) производные вычисляются при постоянных параметрах (1) и %s, а множители Yi и задаются так, чтобы удовлетворялось уравнение
а = 7іГі + ї2Г2,
Ti =
d\i*a дд ( delb дд dt d(d\i*a/dt) + ~dt~ д (de*hldt) ’
г ___п ^ до і е’ і тт , d\ia до
2 — а* д (VaT) ^ La дЕ'а + bVa д (Vbva) + dt д (d[ia/dt) *
Рассмотрим класс моделей, в которых термодинамические силы d\i*a/dt и dz*b/dt входят лишь в G1; VaTf ?', Vbva, d\ia/dt — лишь в а2, а величины G1 и O2 удовлетворяют неравенствам G1 ^ О, G2 ^ 0. В этом случае множители Y1 и ^2 определяются из соотношений Oi=VirI. O2 = 72Гг
При построении моделей пластических сред, обладающих гистерезисом намагниченности, в качестве основного предположения примем, что приращение энтропии, обусловленное изменением остаточных деформаций и остаточной намагниченности, связано только с приращением последних и не зависит от скоростей, с которыми осуществляются эти приращения. Такое предположение хорошо согласуется с тем фактом, что сколь угодно медленные процессы пластического деформирования и перемагничивания тела, обладающего гистерезисом намагниченности, являются необратимыми процессами В качестве G1 в этом случае следует взять однородную функцию первой степени (Y1 = I) относительно d\i*a/dt и de*b/dt Тогда из (24) с учетом (23) находим
pRa=° д (dyi*a/dt)' pRa6 = d(de*l/dty (25)
Как известно [12], если диссипативная функция является функцией первой степени относительно термодинамических сил, то из обобщенного принципа Онсагера следует существование функций нагружения для обобщенных потоков и ассоциированного закона для термодинамических сил. Поэтому компоненты тензоров Ra, Raby опре-
ДОПОЛНЕНИЕ
279
деленные равенствами (25), лежат на некоторых поверхностях в пространстве переменных Rat Rab
fk(Ra>Rab> Ъ) = 0 (/г = 1, ... , N), (26)
которые можно называть поверхностями нагружения, а для d\i*a/dt и de*b/dt имеет место ассоциированный закон
м N
d\i*a = ^ d\k , de*b = 2 dlk -щїф . (27)
k=\ а k= і
