Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
(2.6) следует, что сумма 2 v*>m* пропорциональна с~2.
/=і
Аргументы IiJ9 Sijt QiJ функции е°, входящей в ньютоновские уравнения, связаны с компонентами /?, S* равенствами
Iu=^nIklIi, SiJ=OknSklSl QiJ=^nIlSl
В ньютоновской механике символы /?, Si /'*, ркп, хкя обозначают компоненты, получающиеся при переходе к ГСК Xv из компонент I*k, Sfk, /**, р*кп, х*кп в результате преобразований, в которых опущены малые величины, пропорциональные с~г. Если ГСК x*v выбрана, как указано выше, то из равенств /*° = Sf0 = /*° = p*0v = t*0v = 0 Следует, ЧТО if = Ifk, Sk = Stk, /*=/**, pkn = p*kn, Tfcn=T**".
ДОПОЛНЕНИЕ
МОДЕЛИ ФЕРРОМАГНИТНЫХ УПРУГО-ПЛАСТИ ЧЕСКИ X СПЛОШНЫХ СРЕД В НЬЮТОНОВСКОЙ МЕХАНИКЕ
Как известно [1], существует многочисленная группа сред, называемых ферромагнетиками, характерной особенностью которых является очень большая величина магнитной проницаемости Среди важнейших свойств этих сред отметим неоднозначный характер зависимости намагниченности от напряженности магнитного поля (магнитный гистерезис) и наличие остаточной намагниченности при равной нулю напряженности магнитного поля. Изучению свойств ферромагнетиков посвящена обширная литература Основные экспериментальные данные и микроскопическая теория различных свойств фі рромагнетиков приведены в монографиях [1—4]. Феноменологические модели сплошных сред, намагничивающихся без гистерезиса, построены в работах [4—9]. Ниже в рамках ньютоновской механики рассмотрены нерелятивистские модели ферромагнитных упруго-пластических сред с учетом магнитного гистерезиса.
Определяющие параметры. Рассмотрим в рамках ньютоновской механики движение сплошной среды относительно системы отсчета наблюдателя с пространственными координатами Xit временной координатой ty координатным базисом Э\ и компонентами метрического тензора gif. Введем также сопутствующую для среды систему отсчета с лагранжевыми координатами временной координатой t и координатным базисом эа. Связь между этими двумя системами отсчета устанавливается законом движения
Xi = Xid*, t).
Базисные векторы эа получаются из векторов аффинным пре* образованием (в каждой точке)
a -VtSi V*—3 Pa л Pa —
9a xari‘ га — ’ ai Wcpa* W QxI*
а компоненты метрического тензора в сопутствующей системе коор» динат даются формулами
Шаъ-Ь/А-
Обозначим через ^tc и Bc конгравариантные компоненты векторов намагниченности единицы массы и индукции магнитного поля. Кан известно, Bc представляется в виде
Bc = ZcabVaAbt
где ъсаЬ — компоненты тензора Леви-Чивита, Va-ковариангная производная, Аь — компоненты векторного потенциала. Определим компо* ненты вектора напряженности магнитного поля равенством
Hc = Bc-4лрцс.
272
ДОПОЛНЕНИЕ
Здесь р —плотность среды, причем P = P0 (|g*6 |/|&а&))1/2, где P0 и g* ь —. плотность среды и компоненты метрического тензора в начальном состоянии.
Для учета пластических деформаций и остаточной намагниченности введем определяющие параметры g*b и \i*a Им можно придать физический смысл при помощи следующего мысленного процесса разгрузки. Возьмем бесконечно малую частицу с лагранжевыми координатами ?а, вырежем ее из тела и доведем в ней напряженность магнитного поля и тензор внутренних напряжений до нуля. При этом частица деформируется, и векторы базиса эа перейдут в э*, а компоненты метрического тензора gab примут значения g*b. Вектор намагниченности \*>аэа также изменится и станет равен \1*аэ%. Дальше примем, что компоненты g*b и \i*a зависят только от координат и времени t: Многообразие с координатами ?а, компонентами метрического гензора g*b и контравариантными компонентами вектора намагниченности является обобщением вводимого в теории пластичности состояния среды, в котором отсутствуют внутренние напряжения [10]. В этом многообразии можно ввести связность и превратить его в многообразие аффинной срязности. Отметим, что кривизна и кручение этого многообразия, вообще говоря, отличны от нуля, а вектор индукции магнитного поля в нем не является соленоидальным. Все это указывает на невозможность проведения процесса полной разгрузки для частицы конечных размеров.
С компонентами g*b и \i*a можно связать следующие физические
параметры:
вектор обратимой намагниченности
Здесь ^ — компоненты метрического тензора в начальном состоянии.
Наряду с намагниченностью и магнитным полем, вообще говоря, необходимо учитывать поляризацию и электрическое поле. Ho в ферромагнетиках обычно отношение напряженности электрического поля к напряженности магнитного поля и отношение диэлектрической проницаемости к магнитной проницаемости малы (< 10_б). В дальнейшем мы ограничимся приближением квазистационарного электромагнитного поля, как это делается в магнитной гидродинамике [11]. Тогда можно считать, что поляризация и напряженность электрического поля не входят в число определяющих параметров, а намагниченность, электрический ток, индукция и напряженность магнитного поля инвариантны относительно преобразования Галилея [11].
Если также не рассматривать химические и фазовые превращения магнетиков и сильно неравновесные процессы в переменных магнитных полях сверхвысокой частоты (> IO9 Гц) [1—4], то для по:тро-ения модели магнито-упруго-пластического тела с учетом магнитного
