Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
22
ОСНОВНЫЕ РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
существуют материальные тела, взаимодействующие с электромагнитным полем и через него друг с другом Оказывается, что скорость распространения такого взаимодействия равна максимально возможной скорости распространения взаимодействий с [2, 3].
Для определения количественных характеристик электромагнитного поля и взаимодействующих с ним тел введем идеализированный объект, называемый пробным электрическим зарядом. Пробный электрический заряд — это взаимодействующая с электромагнитным полем материальная точка, при движении которой можно пренебречь ее собственным электромагнитным полем, а также неста-ционарностью и неоднородностью внешнего поля в том месте, где она находится. Установлено, что уравнение движения пробного заряда с массой т можно представить в виде [2, 3]
mcIT = TjrviluV (2-S)
Здесь е — положительное или отрицательное число, характеризующее способность данного пробного заряда взаимодействовать с электромагнитным полем, a —компоненты антисимметричного (Jrx^x== — Jr^) тензора второго ранга, характеризующего внешнее электромагнитное поле в точке, где находится пробный заряд. Скаляр е и тензор называются электрическим зарядом пробного заряда и тензором напряженности электромагнитного поля. Наблюдая движение пробных зарядов в заданном электромагнитном поле и используя уравнение (2.8), можно найти величины е/е0 и е^Т^, где е — электрический заряд любого пробного заряда, а ^ — электрический заряд некоторого фиксированного пробного заряда. Единицу измерения электрического заряда (и тем самым электрический заряд е0 какого-нибудь одного фиксированного пробного заряда) можно выбирать различными способами. Каждому из них соответствует своя система единиц для измерения электромагнитного поля и всех других электромагнитных величин. Используя уравнение движения пробного заряда
(2.8) и задавшись единицей измерения электрического заряда, можно в принципе определить не только компоненты тензора напряженности электромагнитного поля в любой точке пространства событий, а еще и электрический заряд любого тела. Например, это можно сделать, наблюдая движение тела в достаточно сильном постоянном и одно-
МАТЕРИАЛЬНЫЕ ТОЧКИ И ПОЛЯ
23
родном внешнем поле, в котором данное тело можно рассматривать как пробный заряд.
Электромагнитное поле определяется в каждой точке х пространства событий компонентами QFixv (х). Функции oFuv (х) не являются полностью произвольными, а удовлетворяют некоторым уравнениям электромагнитного поля. Эти уравнения можно разбить на две группы. К первой группе относятся уравнения, связывающие функции OFliv(X) с параметрами, характеризующими материальные тела. Эти уравнения для случая, когда материальные тела представляют сплошную среду, будут выведены в дальнейшем из вариационного уравнения Л. И. Седова. Ко второй группе относятся уравнения, связывающие только функции QFixv(X) между собой и имеющие следующий вид в любой ГСК [2, 3]:
e^x& = (2.9)
В произвольной криволинейной системе координат их можно записать так:
e«0Y«vparY6 = 0. (2.10)
Легко найти общее решение этих уравнений:
Здесь Aa — компоненты некоторого вектора A9 называемого четырехмерным потенциалом (4-потенциалом) электромагнитного поля. Очевидно, чтобы задать в некоторой области V электромагнитное поле, достаточно задать в ней векторное поле А (х). Заметим, что 4-потенциал определяется заданным электромагнитным полем не однозначно, а с точностью до градиентного преобразования
K = Aa- дф, (2.12)
в котором А (?а) — произвольная функция от Iа. В самом деле, легко убедиться, что вектор А' приводит, согласно равенствам (2.11), к тому же самому тензору напряженности электромагнитного поля, что и вектор А. В отличие от компонент тензора напряженности электромагнитного поля компоненты его 4-потенциала являются вели-
24
ОСНОВНЫЕ РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. 1
чинами, физически ненаблюдаемыми. Поэтому физический смысл имеют лишь уравнения и параметры, инвариантные относительно преобразования (2.12). Такую инвариантность называют градиентной или калибровочной [2, 3].
Для компонент тензора напряженности электромагнитного поля и его 4-потенциала, взятых относительно ГСК, приняты следующие специальные обозначения [1—3]:
О Шх Ш2 % \
-S1 0 -еЭГ, e%V
-S2 <Жг о _«ЯГХ
V- S3 -^T2 СЙГ, О
/о -S1 -S2 -S3 \ (2.13)
S1 О -&л Ж,
3 о — <2%^* 1
V^3 — 2 <2%^ I О
7 = (ф* аъ а2, а3), Av = (ф, -а\ -а2, -а3).
[XV •
Здесь индекс jii указывает номер строки, а индекс v — номер столбца. Можно доказать, что при переходе к другой ГСК, соответствующей системе отсчета, неподвижной относительно исходной, величина ф не изменяется, а величины ь ай преобразуются как компоненты трехмер-
ных векторов. Они называются соответственно напряженностью электрического поля, напряженностью магнитного поля и векторным потенциалом магнитного поля. Величина ф называется скалярным потенциалом (или просто потенциалом) электрического поля. Используя равенства
(2.2), (2.3), (2.13), легко представить уравнения (2.8),
