Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Чеботарев Г.А. -> "Аналитические и численные методы небесной механики" -> 76

Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.

Чеботарев Г.А. Аналитические и численные методы небесной механики — М.: Наука, 1965. — 368 c.
Скачать (прямая ссылка): anakiticheskayaichislena1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 92 >> Следующая

результатах будут ошибочны. Систематическое накопление ошибки в процессе
интегрирования ограничивает возможности численных методов по сравнению с
аналитическими методами, которые свободны от этого недостатка.
Предположим, например, что мы вычисляем координаты какого-либо объекта с
15 десятичными знаками на протяжении 104 оборотов. При каждом обороте
необходимо сделать около 100 шагов численного интегрирования, чтобы
обеспечить достаточную малость высших разностей. После 104 оборотов (или
106 шагов интегрирования) накопившаяся ошибка составит 10° единиц
последнего десятичного знака. Таким образом, к концу интегрирования мы
сохраним точность в координатах всего
- 297 -
в шесть десятичных знаков. В случае близкого искусственного спутника
Земли 104 оборотов соответствуют приблизительно 666 суткам; для Меркурия
это составит около 2500 лет.
Однако, если мы захотим увеличить точность координат до девяти знаков,
теория движения Меркурия (а следовательно, и общая численная теория
движения всех больших планет) может быть построена только на 25 лет!
Возможности аналитических методов значительно шире, а поэтому они и в
настоящее время составляют основу небесной механики.
б. Второй метод Коувлла. Численный пример. В качестве числового
примера мы рассмотрим вычисление возмущенных координат периодической
кометы Брукса, выполненное выдающимся советским специалистом в области
кометной астрономии А. Д. Дубяго (1903-1959).
Исходными данными являются оскулирующие элементы орбиты.
Эпоха оскуляции 1939 г. сент. 24.0. всем, в р.
М0= 1°13'2Г76,
<¦" = 195°41'2718,
Эклиптика и
равноденствие (VI.57 *) 1950.0
2 = 177°42/16"12,
/ = 5°32/45"78,
у = 29° 4'55''49, п = 510Г66170
Необходимо вычислить точные возмущения от Венеры, Земли, Марса, Юпитера и
Сатурна до эпохи следующего появления кометы в 1946 г. Исходные
координаты и скорости вычисляются по формулам задачи двух тел в
экваториальной системе координат для момента оскуляции /" = 1939 сент.
24.0.
дс = Ах (cos Е - е) -+- В,, sin Е, у = Ay (cos Е - е) -4- Вsin Е, (VI.
58)
(cos Е - е) -+- Вг sin Е,
(Br cos Е - Ах sin Е),
{Ву cos Е-Ау sin Е), (VI. 59)
{Вг cos Е - Л, sin Е),
- 298 -
Z = Д,1
dx k
dt r 'Ja
dy k
dt r 'J a
dz k
dt r 'J a
AT = aPT, Bx = acos?Qr,
Ау = aPy, By -a cos ? Qy, (VI. 60)
Аг = аРг, Вг = a cos'? Qz,
PT = cos и cos2 - sin и cos / sin2,
Py - (cos <b sin 2 -+- sin и cos i cos 2) cos - -
- sin "> sin / sin e,
Рг = (cos "> sin 2 -+- sin w cos i cos 2) sin s -+-
-+- sin "> sin / cos s,
Qr - -sin <b cos - - cos <b cos i sin 2,
Qy = (-sin to sin 2 -+- cos "> cos / cos 2) cos e -
- cos <b sin / sin s,
Q, - (-sin to sin 2 -+- cos u> cos / cos 2) sin s 4
4- coso>sin /cose.
Уравнение Кеплера
E - e sin E - M0 - tti)
решается относительно E последовательными приближениями. Используя
систему оскулирующих элементов, находим
дг = 4-1.786990050, w J = -0.0425078129,
у = 4-0.535836158, го ^ = 4-0.1400120441,
г = -1-0.165843768, = ч-0.0454068136.
Интервал интегрирования принят равным го = 10 суток. Когда комета
находилась на расстоянии от Солнца, превышающем 3.5 а. е., вычисления
велись с 20-дневными промежутками времени. Переход от одного интервала к
другому в процессе интегрирования не представляет затруднений. Если мы
хотим обеспечить окончательную
(VI. 61)
- 299 -
точность координат в семь десятичных знаков, то число знаков, с которыми
вычисляются функции
х 2 d2x
fx W >
Л = а,2"р" (VI. 62)
г 2 d2Z
ft w dt2 ,
a также суммы и разности должно быть на два и три знака больше.
Для того чтобы составить предварительную таблицу разностей величины /г,
/у, fz вычисляются для ряда моментов по невозмущенным координатам кометы.
Мы ограничимся вычислениями для координаты х (табл. 48).
Таблица 48
Всемирное время X • 1<Р fx ¦ Ю'
1939 авг. 25.0 -"-18775329.42 -83485.81
сент. 4.0 18556525.50 83402.02
14.0 18254379.04 82391.05
24.0 17869900.50 80466.30
окт. 4.0 17405011.04 77679.96
14.0 16862490.73 74119.02
24.0 16245892.03 69898.51
Составим теперь предварительную таблицу сумм и разностей для координаты х
(табл. 49). Аналогичные таблицы должны быть составлены для координат у,
г.
Все величины в табл. 49 приведены в единицах седьмого знака. Первый член
в таблице вторых сумм вычисляется по формуле (VI. 52), которая дает в
седьмом десятичном знаке
ff = -1-17869900.50 -+- 6705.52 -+- 3.59 -+- 0.02 =
= -•-17876609.63.
Начальный член в таблице первых сумм вычисляется по формуле (VI. 57),
которая дает /й] = -425078.13 - 40233.15 -"-196.30 -"-1.06 -+- 0.02 =
= -465113.90.
- 300 -
Во втором приближении величины /т, /у, /, определяются от момента к
моменту, начиная от эпохи оскуляции 1939 сент. 24.0, причем х, у, z
вычисляются на каждый момент по формуле (VI. 53).
Так как полученные в первом приближении исходные члены рядов сумм не
изменились, то в дальнейших приближениях нет надобности. Предварительная
таблица разностей для х представлена в табл. 50.
А. Д. Дубяго экстраполирует "на глазок'1 третью разность, полагая ее
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 92 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed