Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Табл. 20 дает вычисленные "с, 8с, а также расхождения теории с
наблюдениями Да = а0- ас, Д8 = 80- 8с.
Расхождения между теорией и наблюдениями оказываются довольно
значительными и объясняются прежде
- 126 -
Таблица 20
Номера наблюдевиЙ а с 0 С Да До
1 52°17'50:'4 -+-17°06'23.2 -+- 94"1 н-5678
2 352 4230.0 -20 2908.4 - 36.3 - 1.2
3 148 01 30.4 -+-29 31 41.9 - 62.6 -+-11.5
4 51 1943.0 н-10 37 55.4 - 97.0 -24.4
5 304 0909.2 -31 4942.9 -180.0 -1-18.1
всего тем, что возмущения второго порядка относительно возмущающих масс
остались неучтенными.
§ 3. Применение периодических орбит к изучению движения малых планет
1. Периодические орбиты Пуанкаре. Лагранж впервые показал, что при
определенных начальных условиях можно довести до конца точное
интегрирование дифференциальных уравнений движения в задаче трех тел. Мы
обязаны Лагранжу пятью такими специальными решениями.
В каждом из этих пяти случаев движение трех тел происходит в неподвижной
плоскости. В двух решениях три массы образуют постоянно вершины
равностороннего треугольника, причем в одном случае т3 лежит на одной
стороне от прямой а во втором случае - на дру-
гой. Размеры этого треугольника не остаются одинаковыми, так как массы
/п2 и т3 описывают вокруг т1 конгруентные эллипсы, линии апсид которых
образуют между собой постоянно угол в 60°; для обоих эллипсов т1 является
одним из фокусов. При трех остальных решениях т3 находится постоянно на
прямой, которая соединяет т1 и т2; при этом в одном случае т3
занимает
постоянное положение между т1 и т2, а во втором и в третьем - три массы
образуют последовательности т1У т2, т3 и т3, mv т2. 6 каждом из
этих трех случаев т3 и т2 двигаются по подобным эллипсам:
оба
эллипса имеют /nL своим фокусом. Направления линии апсид совпадают с
направлением прямой, проходящей через массы, но в случае
последовательности т3, т1У т2 долготы перигелиев отличаются на 180°.
- 127 -
Пуанкаре удалось дать аналитический метод для отыскания периодических
решений в проблеме трех тел. Пусть
= (/ = 1, 2, ... и) (III.82)
система дифференциальных уравнений; Х( - заданные функции ДГ], х2, ...
х". Вообще говоря, представляется довольно трудным найти периодическое
решения этих уравнений. Однако построение такого решения оказывается
довольно простым, если Х( могут быть разложены по степеням малого
параметра р и если для р = 0 уже известно периодическое решение
дифференциальных уравнений.
Пуанкаре установил существование трех типов периодических орбит в
ограниченной задаче трех тел.
Периодические орбиты первого типа имеют наклоны, равные нулю, а
эксцентриситеты - порядка возмущающей массы. В этих решениях произвольным
параметром является отношение средних движений. Периодические орбиты
второго типа также имеют наклоны, равные нулю, но эксцентриситеты
нулевого порядка относительно масс. Эксцентриситет одной из орбит входит
в это решение как произвольный параметр. Наконец, для решений третьего
типа наклон произволен. В решениях второго и третьего типа отношения
средних движений планет
где р и q - целые числа, взаимно простые.
Рассмотрим более подробно периодические орбиты Пуанкаре второго типа.
Пусть мы имеем ограниченную эллиптическую задачу трех тел и предположим,
что начальные условия движения выбраны таким образом, что малая планета
все время остается в плоскости движения Юпитера.
За единицу длины примем большую полуось Юпитера, за единицу массы - сумму
масс Солнца и Юпитера, а единицу времени определим таким образом, чтобы
постоянная тяготения равнялась единице.
Пусть р - масса Юпитера и Н- угол между радиусами-векторами Юпитера и
малой планетой. Согласно
- 128 -
сделанному выбору единиц среднее движение Юпитера л' = 1, долгота Юпитера
l' - t. Положим
х = \] а, и = 1,
y = \Ja{l-е2), v = n - к'. Уравнения движения запишутся так:
где
F=F, F0 =
о-1
1
2x'i
dx dF
dt du
dy dF_
dt dv *
-+-У,
1
du
dt
dv _ dt~
_dF
dx '
dF
dy •
(III. 84)
Vl-2r cos H-t-r*
- r cos H-------------
(III. 85)
Как известно, функция Fx может быть разложена в ряд по косинусам кратных
углов средних аномалий и
и и
F1 = '2IK{ cos(/ги -+- /2и'-+- />),
(III. 86)
где Kt - функция х и у.
Полагая р = 0, построим периодическое решение уравнений (III. 84)
: - хо - \/а0, и0 = /
'о>
У = Уо = v4(l - *2) " "Ь = *о - < причем х0 выберем таким образом, чтобы
Р_
я
(III. 87)
(III. 88)
где р и q - два взаимно простых целых числа.
Решение (III. 87) является действительно периодическим. Положим
t= T0 = 2qn,
тогда и и l' = t будут отличаться только на величину, кратную 2" от своих
значений при t = 0.
9 Г. А. Чеботарев
- 12) -
Задача заключается в том, чтобы определить начальные условия, при которых
существует периодическое движение с периодом Т0 для р=^0.
Ограничимся в пертурбационной функции только вековыми членами и членами,
которые становятся вековыми вследствие соизмеримости
[F] = 2 К{ cos (/> -+- /2ы' -+-1",
*
причем
i\n -+- i2 - О,
или, на основании (III. 88)
