Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
барьера. Находим, что для обоих потенциалов (138) этот интеграл равен
I dr, = -In Г 2Л^ГУ 1
J ± * 21 a I L (r+ H-1 ос I2) J
—СЮ
(GsCGCGci 0 < І а I < г+). (146)
Он расходится логарифмически в пределе а -> Gs + 0 в отличие от расходимости типа (I — gs/g)~2 в случае электромагнитных и гравитационных волн. Оказывается, эта более слабая сингулярность потенциала для нейтрино приводит к конечному коэффициенту прохождения нейтрино в пределе G -> Gs + 0. Численные результаты, приведенные в табл. 11, подтверждают наше подозрение, однако это нужно еще строго доказать.
б. Отсутствие супер радиации (0 < g < gs). В интервале частот 0 < о < Gs зависимость г * от г становится двузначной и, кроме того, потенциалы V± становятся сингулярными в точке
%
105. Нейтринные волны в геометрии Керра 265
г — I a I (>/•+ при о < os). Действительно, из явного выражения для потенциалов У±
(г(147)
CO (О
находим, что в окрестности г = | а | они имеют следующее поведение:
дЗ/2
V± ~ ----j—TTj • (148)
* 41 a I2 (г— I а I)3 v '
Это поведение отличается от соответствующего поведения (см. уравнение (193) гл. 8 и уравнение (428) гл. 9) потенциалов для
I s I = 1 и 2 в важном отношении — теперь мы имеем полюс третьего, а не четвертого порядка.
Вернемся к задаче об отражении и прохождении. Как уже объяснилось в п. 75, в и 76, в гл. 8, мы должны искать решения уравнений для Z, удовлетворяющие следующим граничным условиям:
\ ехр [~\~ ior^] -\- Aexp [—ІОГ#] ВДОЛЬ ветви Г ОС И
(149)
В ехр [+iar*] вдоль ветви r-+r+-f 0 и г#->+оо. (150)
Кроме того, вследствие уравнения (140) гл. 8 для случая | s | = 1/2, который мы рассматриваем, вронскиан решений ZhZ* должен оставаться одинаковым по обе стороны от сингулярности при г = I a I в противоположность изменению знака вронскиана в случае целого спина. По этой причине закон сохранения для падающих нейтринных волн остается неизменным и в интервале 0 < о < G8:
IR + T = 1 (0 < сг < Gs). (151)
Таблица U
Коэффициенты отражения для нейтрино, падающих на керровскую черную дыру са = 0,95 (I — 0,5, т = —0,5)
a o/os R a o/os
0,181987 1,0055 0,97627 0,220987 1,2210 0,89187
0,182987 1,0111 0,97556 0,230987 1,2763 0,83457
0,183987 1,0166 0,97479 0,240987 1,3315 0,75356
0,184987 1,0221 0,97398 0,250000 1,3813 0,66005
0,185987 1,0276 0,97313 0,250987 1,3868 0,64885
0,186987 1,0332 0,97223 0,260987 1,4420 0,52777
0,187987 1,0387 0,97129 0,300000 1,6576 0,14125
0,188987 1,0442 0,97012 0,350000 1,9338 0,01622
0,189987 1,0497 0,96925 0,400000 2,2101 0,00197
0,200987 1,1105 0,95353 0,450000 2,4864 0,00027
0,210987 1,1658 0,92971
266
Глава 10. Частицы спина 1І2 в геометрии Керра
Другими словами, супер радиации не будет — это следует также из численных результатов, представленных в табл. И.
Ниже мы кратко опишем поведение решений Zi в окрестности точки г = I а |.
Полагая
jc = г — I сс |, (152)
находим, что в окрестности точки г = I a I уравнение для Z±
принимает вид
Cl2Z-*- dZ+ Я 7 Л /1Со\
* -SF- - Sf ± = °- (153)
I a I
Решением этого уравнения являются функции z+ = У^2ІУи2) для V+, z_ = !/Vtiiy'1*) для у_, ( )
где
у = 4X*/Aj?„ (155)
a — общее решение уравнения Бесселя второго порядка. Зная это поведение решений Zi в сингулярности, нетрудно проинтегрировать уравнение в интервале, включающем точку г — | а |, и завершить решение, как в п. 75, в гл. 8 для электромагнитных волн.
Основной физический результат нашего исследования — это отсутствие суперрадиации для частиц спина 1/2. (В § 107 мы подтвердим это и для массивных частиц.) С аналитической точки зрения причина этого кроется в том, что, во-первых, потенциальные барьеры имеют полюс третьего порядка (а не четвертого порядка, как в случае частиц целого спина) и, во-вторых, вронскиан [Z, Z*] не меняется при прохождении сингулярности потенциала V (в отличие от случая частиц с целым спином, где происходило изменение знака вронскиана).
106. Сохраняющийся ток и сведение уравнений Дирака к одномерным волновым уравнениям
В § 104 было показано, что решения для базисных спиноров Pa и Qa' в геометрии Керра, описывающих частицу спина 1/2, представимы в виде
PO = (1/р* /2) я_1/2(г) 5-,/2 (9),
QO- = _ (1/р/2) Я_1/2 (г) 5+,/2 (0), (156)
P1 = + 1/2 (г) 5+1/2 (0). Q1 = Я + 1/2 (о 5—1/2 (0)>
где в выражениях для P0 и Q0' восстановлен множитель 1//2, который мы опустили при переходе от уравнений (116) и (117) к уравнениям (119)-(122).
ІОб. Сохраняющийся rtioti
Уравнения для радиальных функций имеют следующий вид:
_d_ dr
1/2/ d
д1/2 (4-IjlPl °) - im^р
; А ?) P-1/2 = (^ + ІШіГ) P+1/2,
где
P+1/2 =1 Л ~#+1/2, —1/2 = R-1/2-
Из уравнений (157) и (158) сразу же находим, что
-SrUp
+и°-
P-U 212) = О
(157)
(158)
(159)
(160)
Эквивалентное соотношение, но в которое входит вронскиан
f/5—1/2, ?+1/2], ИМЄЄТ ВИД
[А1/2/(Х + imer)] [Р-i/o, ^+*/2] = const.
(161)
Величина (j Р+1/212 — I Р-\/212), постоянство которой гарантируется уравнением (160), равна сохраняющемуся суммарному току частиц, который определяется следующим образом:
