Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
ЛЕММА 2.
SCD; AB' = 0. (80)
Доказательство. Вследствие правила соответствия (71) и правила Лейбница, справедливого как для тензорных, так и для спй-норных полей, из уравнения (37) вытекает, что
0 = Sjk; і = (bCD&E'F'O^ Ok** ); AB', (81)
Из леммы 1 получаем
G‘fB (zcdSe'F')-, ав' = 0, (82)
откуда и вытекает доказываемое утверждение (80).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Спиновые коэффициенты Г(а) {ь) (с) (d') в диадном формализме определяются следующим образом:
Г (а) (Ь) (с) (d') = [?(а) f]; CD'?(b)$c)Z,fd'y (83)
Удобно краткости ради использовать другую формулу (несмотря
на менее симметричный вид)
Г (a) (b)CD' = [?(a)F];CD' &>• (84)
Определенные таким образом спиновые коэффициенты симметричны по первой паре индексов. Эта симметрия следует из соотношения (ср. с уравнением (59))
?(a) F^ffi) = Є(а) (й), (85)
256
Глава 10. Частицы спина Ii2 в геометрии Керра
потому что в силу этого соотношения и леммы 2 имеем
T(a)(b)CD' = —U(6)]; CD'^(a) F = + l^(b) f]; CD'^a) = ^(b) (а) CD'- (86)
Мы получим альтернативную запись уравнения (84), если свернем его со спинором ?><?) и используем соотношения (59):
[S(A) ?]; CD' = —^E)Г(6) (а) CD' = ?>(b) E^t(O) CD'• (87)
Покажем, что внутренние производные диадных компонент спиноров первого и второго ранга могут быть выражены через спиновые коэффициенты, а в силу правила Лейбница этого достаточно для получения ковариантных производных спиноров произвольного ранга. Действительно,
1(a) \ BC' = ?(а)?д; BC' = [lU?(a)]; BC' ~ ІЛ Ufa)]; BC'- ' (88)
Величина в первой квадратной скобке в правой части уравнения является скаляром и равна ?(а). Поэтому в силу соотношения (87) имеем
1(a) I BC' = 1(a), BC' “ ?лГ^(а) BC'Z(d)i (89)
ИЛИ
?(а)|ВС' = 5(a), BC' + Г({/) (а) BC'l(d) - (90)
Подобным же образом находим
?(а) ?(а) і р(а) c.(d) /Qi \
SiBC'= s. вс'+ A (d) вс'Ъ • (У U
В силу симметрии спиновых коэффициентов по первой паре диадных индексов нужно задать только 12 коэффициентов. В формализме Ньюмена—Пенроуза за этими коэффициентами закреплены специальные обозначения Г<а) (Ь) (с) (d)-
(C) ю (а) (Ь)
00 01 или 10 Il
00' X е Jt
10' P а К
or а P
11' T 7 V
Остается убедиться, что эти определения спиновых коэффициентов согласуются с определениями, введенными выше через коэффициенты вращения Риччи yijk (определения (286) гл. 1).
і Докажем прежде всего следующую лемму, сформулированную Дж. Фридманом.
ЛЕММА 3.
Г (a) (b) CD' — lU^k ] в)?(/') [?(&) ЕІ(к') F'h CD'- (93)
102. Спинорный анализ в формализме Ньюмена—Пенроуза
257
(Заметим, что в силу правила соответствия (63) комбинации и ?>{b) ЕІ(к') F' представляют базисные изотропные векторы.)
Доказательство. Расписывая правую часть соотношения (93) по правилу Лейбница и преобразуя ее с помощью соотношений (59), получаем последовательно
1I2Eik ] ] ElUk') F']; CD' + ^fa) ?(/')?( fe') F' [?(6) ?І; CD') =
= 1I2Eik ] if ] {— 8(a) (b)t\k') CD'^(d') F' +
+ г(Ь') (/')^)^(6) CD'Ud) ЕІ =
= lIftik } i^ ) {—8 (a) (b)^d \f')T'(d') (k') CD' + &{k') (f')$id\a)T(d) (b) CD'} = = 1I2Slk') {—8(a) (b)T(k') (f')CD' + b(k') (/')Г(а) (b) CD'] =
= V2S^') V'hik') (/')Г(в) (b) CD' = Г(д) (b) CD'• (94)
Лемма доказана.
С помощью леммы Фридмана можно выразить различные спиновые коэффициенты Г(0) (6) (с) (d') через ковариантные (тензорные) производные базисных изотропных векторов 1, п, m и ш и проверить, что определения, введенные в настоящем разделе, находятся в согласии с определениями спиновых коэффициентов через коэффициенты вращения yiJk. Действительно, с помощью определений (54), (63) и (69) находим (опуская скобки при диад-ных индексах, когда они принимают конкретные значения О или 1)
Гоооо' = lUbih ) [Soe?(/j') F']; 00' ==
= lI2^ik ) if P') [0?^(Д,^ 00' =
— 1U [0ElF I1 (OeOF'); і — oV V (0?і/Г'); г] =
= V2 ImUiIj; і — Wmj; ?] = V2 ІУзп — Тізі] = Тзп = к (95)
в полном согласии с определением спинового коэффициента к в гл. 1 (определения (286)). Аналогично этому
Гної' = 1I2Zik ) i^ jI^ff') [b?^(^') -F']; 01 =
= V2 [l?lF' (t?OF^;01 — IeOf' (l?lF');0l] =
= V2 InimiInh і - IfiimiUyt і] = V2 (Y243 ~ 7423) = ?24з = |Ы, (96)
что снова находится в полном согласии с определением спинового коэффициента (і в гл. ^(определение (286)). Точно так же могут быть вычислены и остальные спиновые коэффициенты.
На этом мы заканчиваем изложение спинорного анализа и построение спинорного базиса в формализме Ньюмена—Пенроуза.
9 Чандрасекар С., т. 2
258
Глава 10. Частицы спина 1І2 в геометрии Керра
103. Уравнение Дирака в формализме Ньюмена—Пенроуза
Хорошо известно, что в релятивистской теории частицы спина 1/2 описываются парой спинорных волновых функций Pa и Qa'. В пространстве Минковского уравнение Дирака для этих спиноров имеет следующий вид:
Олв'діР -f- — 0, (97)
olAB'diQA -f щ*Рв' = 0, (98)
где gab' — матрицы Паули, a ji* У2 — масса частицы (равная
в подходящей системе единиц обратной компотоновской длине волны). Множит ель У 2 в определение массы входит потому,
