Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
— (1Ij — V), 2 ^P, 2І бт} + 2е^-»*»+Р KP1 з биг, з - (^ — V), з бір, з] 6т 4-+ [Р, з ^Иг. з — (tI5 — v), з бір, 3] бт} —
— еР (2S бір - 2S бір + D біг + D бт) + 1Ae-3^v (e^-^Q, Д 2 -f + e^-^Q, 3Q, з) -f V2 j[e-2^+2v (^-v+3^-^x), з], 2 +
[e-2n,+2v (е^+м2+^,х)і2]і3| б\р +
+ V2 IIe-^8v(в*-^»-!*^),з],і + [б 2M'3+2v (^-v+[t2+^x),2]j3} бір +
4- (e^-^«Q, 2COj 2 - e^-^Q, 3СО, з) X +
4- (e^-^Q, 2С0, 2 - e^-V-Q, з CO, з) X -
_ 2со, з (X бір + X бір) —
— **3+Р {[бір, 23 + бір, 2 (ір — Иг), з “Ь бір, 3 (ір — Из), 2 —
— Р, 2 биг, з — Р, з ^Из, 2І X + [бір, 23 4- бір, a (1P — Иг), з +
4" бір, з (ір — Из), 2 — Р, 2 би2, 8 Р, З бИз, 2І X
— [р, 22 — Р, 2 (Из + Иг), 2 + Ф, гМ5, 2 “f~ V, 2^, 2] XX —
— V2^-2v+2|Xa—2tl* (со, з)2 XX }1 йф dx2 dx3 -)-
4- Поверхностные интегралы, (341)
114. Вариационный метсд и устойчивость решений
329
где ради краткости мы не выписали явно поверхностные интегралы и введены следующие сокращенные обозначения:
бц = V2S (Из + Иг). Sr = V2S (Из - И2)- (342)
/) Вариационный принцип. При выводе уравнения (341) предполагалось, что пробные вариации, представленные величинами с чертой, удовлетворяют только уравнениям начальных условий. Вследствие симметрии подынтегрального выражения в объемном интеграле относительно собственных и пробных величин мы можем формально отождествить их и в результате получаем
a2 I j j e~2v \2 (8т)2 + 2 (8\|э)2 — 2 [6 (\р -f- (г)]2 +
+ V2e~4^Q2 + 1/2е2^~2^з%2\ (—g-)1/2 d(p dx2 dx3 —
“111 [4 (6\|;)2 + (8t)2] -j- 4 Ye3yb~v 8\|; бт 4 U (бт)2 -f-
-f- 2e$ [e^~(6\|), 2)2 + e^2~^ (6\|)f 3)2] —
— 4e& [(3 2 б(я3> 2 — (^ — v), 2 6\|), 2] —
— [p,3 6(12,3 — (^ — v)f 3 з]} 6t — 2e$ (2S бф -f D бт)
+ 1Ue-^v [e^-^2 (Q 2)2 -]_ (Q 3)2]
-j- \[e~2M'2+2v (e$>—v+3^2 — ^3%), 3] 2 -)- [g~2M>3+2v (^-'v+M-2+M-3^^ 2], 3} 6\|) -\--[- gM<2-^3 (gM<3-M<2Q 2(0, 2 — 3(0, 3) X ~
— 4^-^^2-^3(0^ 2(0, 2X бф +
+ U(3, 22 — P, 2 ((ІЗ + (A2)f 2 + 2^. 2 + Vf 2Vf 2] X2 +
+ 1/2^~2v+2m'2“2m'3 (®f 3)2 x2} — 2^+^2-^3 [6\p, 23 + бф, 2 (^ — М2), 3 +
+ 6\|), 3 (\|) - (X3), 2 - p, 2 S(X2,3 -- P, 3 6(X3,2] x] d(P d*2 d*3 +
, + Поверхностные интегралы. (343)
Будем теперь рассматривать соотношение (343) как формулу, определяющую сг2, предполагая, что вариации удовлетворяют только уравнениям начальных условий и надлежащим граничным условиям. Предположим теперь, что мы вычисляем последовательно о2 для двух множеств пробных вариаций: 6if>, 8v, Q, х и т. д. и бгр + 82if>/2, 6v + 62v/2, Q + 6Q/2, % + бх/2 и т. д., где б2гр/2, 62v/2, 8Q/2, 6^/2 и т. д. — бесконечно малые приращения. Другими словами, будем рассматривать влияние на а2, задаваемую уравнением (343), произвольных бесконечно малых приращений пробных вариаций, совместных только с уравнениями начальных условий и надлежащими граничными условиями. Если подвергнуть подынтегральное выражение в уравнении (343) указанным вариациям, то мы сразу же получим явное выражение для ба2. Возьмем это выражение для ба2 и проделаем в обратном порядке все преобразования, которые привели нас к уравнению (341), т. е. прой-
Чандрасекар С., т. 2
330
Глава 11. Другие решения, альтернативные методы
дем последовательно через уравнения (339), (276) и (275), но только с одним существенным отличием: мы не имеем теперь права использовать динамические уравнения. Находим в результате
6 a2 jjj {2 (6т)2 + 2 (8ф)2 - 2 [6 (ф + ц)]2 +
+ Vafi-'i^Q2 + V2e2!i*-2^x2i (—?)|/2 d<p dx2 dx3 =
= — j j j [6 {[G(3) (3> + G<2> <2>] (—?)1'2 }62и +
4. б |[G<3> (3) _ 2) <2>] (—§-)1/2| 82t +
+ 8 \RW (S)^s-Ha (—gy<2\ 8x + 8 j^3+n2G<i) <Ч} б2ф +
-f V2 {CF%_3<l>-v+H2+^3Q 4. (e-3il)+v-n2+n.,Q^ 2y 2 _|_
+ (g-H'+v+M.*-^ 3)f з -|- ((Oj 2yJf 2 —
__ ^2м-2-2ц3(0 з + [(0, 2 (3 6\p — 6v -f 6(^3 - S(I2)], 3 “
— [co, з (3 8\p — 8v -j- 6jJi2 — Sji3)], ?} 8QJ dtp dx2 dx3. (344)
Отсюда, если подвергнуть пробную вариацию произвольным бесконечно малым изменениям, подчиняющимся только уравнениям начальных условий и надлежащим граничным условиям, и потребовать, чтобы 8а2 равнялась нулю для всех таких приращений, то должны удовлетворяться динамические уравнения рассматриваемой задачи. Другими словами, пробная вариация должна представлять истинное решение задачи. Это и есть вариационный принцип, приводящий к решению линеаризованных уравнений.
2) Устойчивость решения Керра относительно аксиально-симметричных возмущений. Покажем, как из вариационного выражения (343) для о2 может быть выведена устойчивость решения Керра относительно аксиально-симметричных возмущений. В этой связи, как было впервые показано Фридманом и Шутцем, решающее значение приобретает следующий выбор калибровки:
потому что в случае метрики вида (241) коэффициент при а2 в левой части уравнения был бы равен
а это выражение не является положительно определенным. С другой стороны, в случае более общей метрики (244), мы можем положить 6|ы = 0, допуская появление функции % Ф 0. При выборе калгібровки
8]i = V28 (|i3 + |і2) = О,
(345)
J j j ^2v {2 (8т)2 + 2 (6ф)2 - 2 [6 (ф 4- И)]2 Ь 4- Vafi-4l^Q2I (—ёУ12 ^ф d*2 dx3,
