Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
4-і/2ви.-й,-?И4ц2, 4х, 4, (252т)
— #1234 = V^*-^4 (Q24 [4: 3 - ^2 (e«*‘): S'] ~ Q2S (4 ~ Иг), 4І +
4- V-Ф-и. (e^-^-^Qji), 2> (252у)
— Rim = [Q13 (Ф _ (X4)t 2 _ Q42 (ф _ ^4).3] 4.
4- V2^tl1 (^-•‘‘-“•Qss), 4, (252ф)
— #1324 = [Q34 (1)3 - Из), г -- Q32 (4 - Из), 4] +
4_ 1/2е-г|)-Ца (e24,-*l2-tl4Q24):3- (252х)
Нелишне будет заметить, что для отдельных компонент тензора Римана получаются разумные выражения, которые на первый взгляд не совпадают. Действительно,
# I» = -е-*-*1* (е*-*Ч з), 4 + 4И4 : 3 +
+ V4^-2^-*‘=-^4Q24Q23 - V^-^, ъ\ 4, (253)
А 413 — —е \е 1P, 4/: 3 “Г ? y: 3[^3, 4
- xUe^-^-^~^QiSQi2 + .X, 4- (254)
114. Вариационный метод и устойчивость решений
313
Эти выражения получаются, если воспользоваться соответственно следующими уравнениями структуры:
Q3 — do)3 -f- (l>2 Д 0)3 -f- 0)4 Д (о3, (255)
Q4 = d(o{ -}- 0)3 Д 0)4 -4- (02 Д 0)4. (256)
Тем не менее если использовать тождества, которым удовлетворяют производные (247), то можно показать, что выражения (253) и (254) одинаковы (хотя установление подобных равенств не всегда простая задача).
Комбинируя соответствующим образом перечисленные компоненты тензора Римана, получим компоненты тензора Риччи и тензора Эйнштейна
24 + Ф, 2 СФ - hi), 4 - 4И4, 2 + 1?, 24 + Из, 2 (Из ~ H2), 4 ~ Из, 4?, 2І ~
— Xl^~2^Q2iQii = V2e^b-2^» [ф. з е-^ (е^), з-] X, 4 +
+ |Хз—4);3- (.R42), (257)
№. 4 : 3 + 3 (Ф — Из), 4 — 'P, 4.Щ : 3 + (в^~^Ц2, 4): 3' -
— Є-»* (Є^):3'ИЗ, 4] - 1/2е2^-^^32<Э24 =
= V2 (^ + Из), 2 X, 4 + 1Z2C-^+*1' 4), 2 (#43), (258)
(е3ф—H2-M-J + HtQ32). 3 -)_ (^Зф—Д2+Цз—ViQ42)_ 4 = —еЗф+Нг—Hs—M4Q34^1 4 (#12),
(259) (езф-ц2-из+и4(223)) 2 + (^+^-^-^Q43), 4 = о (R13), (260)
(e3t-u2+U3-M.1Q24)i 2 (еЗф+Ц2-M-C-Ii1Q34). 3 __ еЗг1)+ц2-Мз-M4Q34^1 2
(^i)/(261)
еиз-м2 [г|?5 22 -)- 2i|), г + (1I5 + Из), 2 (Из — Иг), г H- Из, 22] Н~
-L- еМ-2-М-з {l|5 33 + г|3: 3\|) 3 4- 1(5. 3 [е-V* (е»>): 3- — Из : з] +
+ (P-*' [е~»‘ (е~^): 3-3:3') + ~
- Ч#2*-* (е*г~»г0Ь + e^-^Ql) - 1Uen^3 (е^-^‘х. 4)2 +
_|_ g—2V+M-2+H8 [^ 4 ([X2 _)_ 4 JJ2i 4^3) 4] = о (G44), (262)
еМз—М2 [V1 22 + V, 2V, 2 + (V + Из), 2 (Мз — Иг), 2 Н~ Из, 22] H-
+ {V; 33 + V: 3V; 3 + V: 3 [Є~(Є^). 3' — ИЗ : ЗІ +
+ <?>-»• [Є-«*• (Є^):3-]:зП + +
+ 3/4еч~2у (^3-tl2Q24 + ^2-tijQ24) H- 1/4^2+ti3 (е^^^х, 4)2 H-
H- e-2v+^2+M3 [(х3; 44 Jr Jl2i44 _)_ Jx2i 4 (jx2 _ 4 _|_
+ Из, 4 (Иі - Иі), 4 + Из, 4Иг, 4] = 0 (G11), (263)
е~2^4 [1(3, 44 H- 4 (tfl — И4 + Из), 4 H- Из, 44 H- Из, 4 (Из ~ И4), 4] H-
314
Глава 11. Другие решения, альтернативные методы
е 2^3 [\р: 33 -j- \|); з (if) — [X3 -f- R): З ~Ь И*4 : 33 “Ь Н4 : 3 (^4 |^з). ЗІ +
~\~ Є 1X2 2Щ, 2 Н^з, 2 M^)» 2] 4- 1Ue ^ 2m^3 2i14Qm —
- {e-^Ql + ^4Q42) + 3A 4)2 = о (G22), (264)
?-2^4 [Ifi 44 ^l4(Ij) — И4 4~ Иг), 4 4" Иг, 44 4" Иг,4(Иг — И4),4] 4~
+ е~2>Хг [v|5,22 + г (4 — Иг + И4), гг + И4. г + И4,г (И4 ~ Иг), г] 4~
+ е-2“° [*: зИ4 : 3 4- е-** (<?'): 3- + И4>: з] + ~
- V4C2*-2*** (e-^Qx + ^4Q23) - V4 (е^-^-^х, 4)2 = о (G33), (265) (1I5 4- NX 2:3 — (^ “Ь И^), 2 И2 : 3 — (Ф 4" И*): 3 Из, 2 4“ 1I5. 2^: 3 4"
4- И4, 2И4 : 3 4- 1/2^-2^Q43Q42 4* 1І2Є2^~2^ (\|> + (I2), 4%, 4 4-
+ 1/2е^~>х> (е2^‘-^-^х, і), 4 = О (#гз), (266)
^Us-H2 [^, 22 4" 1I5,2 (Ф 4' И4 4" Из Иг), г] 4~
_|_ ^2-Из {г|3:33 + v|5: 3 [(^ + И4 - Из):3 + е-^ (е^):3']} +
+ е»*+^-2^ [if, 44 + 1|5,4 (^ - И4 + Иг 4- Из)] -
- Vae2*-2^ + e^-^Qti) ~ lIze4^-ll3Qiz = o' (R11). (267)
а. Линеаризация уравнений поля около стационарных решений; уравнения начальных условий. Предположим теперь, что в результате возмущения, сохраняющего аксиальную симметрию, стационарное аксиально-симметричное пространство-время с метрикой (240) не является более стационарным и метрика его принимает более общий вид (244). В этом случае уравнениям (257) — (267) удовлетворяют функции
V + 8v, гр + &ф, со + б со, [X2 + 6[х2, [X3 + 8[i3, q2, q3, х, (268)
где 8v, бір, бо, 6[х2, б[і3, q2y qs и x — величины первого порядка малости, зависящие от времени, тогда как v, ip, со, [i2 и [i3 — функции, не зависящие от времени и удовлетворяющие уравнениям, соответствующим стационарному аксиально-симметричному пространству-времени, именно уравнениям (5) — (16) гл. 6.
Поскольку величины q2 и q3 не равны нулю только с учетом возмущения, оказывается удобно заменить их производными по времени от других функций, которые мы также обозначим д2 и qs, т. е. будем писать
?2,о и %, о вместо ?2 и qs. (269)
Кроме того, поскольку X по предположению величина первого порядка малости, мы не будем различать производные (247) и комбинации функций, в которые х входит в виде множителя, и обычные производные (обозначаемые запятой). Мы также не будем делать различие между Q43 и Q43, если Q43 умножается на величину первого порядка малости например Q23.
114. Вариационный метод и устойчивость решений
315
Уравнения для возмущений могут быть теперь получены линеаризацией уравнений (257) — (267) около стационарного решения. Результирующие уравнения делятся на два класса: уравнения начальных условий и динамические уравнения. Уравнения начальных условий линейны и однородны относительно производных по времени, а динамические уравнения — это уравнения второго порядка относительно производных по времени и неоднородные. Уравнения начальных условий могут быть, следовательно, проинтегрированы (по времени) и в результате дают простые соотношения, линейные и не зависящие от времени, между различными возмущениями. В сущности соотношения, которые следуют из этих уравнений, можно считать определяющими начальные условия для возмущений. Динамические уравнения определяют эволюцию этих начальных условий во времени.
