Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для определенности рассмотрим первый случай: в момент срабатывания двигателя пассивный корабль находится в точке В, отстоящей на L от точки А. Найдем дополнительную скорость Av, которую нужно сообщить активному спутнику, чтобы встреча произошла через один оборот. Обозначим через v скорость движения по круговой орбите. Тогда период обращения Tv по эллиптической орбите должен быть больше периода обращения Т по круговой на время прохождения дуги L по круговой орбите:
Tl-T = L/v. (4)
Найдем связь между периодом обращения Т{ по эллиптической орбите и той добавочной скоростью Av, которая переводит спутник на эту орбиту. В этом нам помогут законы Кеплера. На основании третьего закона Кеплера
_ ^2 (^)
Г1
где а = (/•[ + г2)/2 — большая полуось эллипса (рис. 126).
Рис. 126. Маневры для сбли-жени я кораблей
§ 36. КОСМИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
221
Для того чтобы связать расстояние г2 от центра Земли до апогея эллиптической орбиты с Av, воспользуемся вторым законом Кеплера и законом сохранения энергии: обозначив через
V[ = v + Av скорость корабля в перигее, а через v2 — в апогее эллиптической орбиты, имеем
rlvl = r2v2> (6) mv2 mgR2 wv; mgR2
2 Г[ 2 r 2
Здесь m — масса корабля, R — радиус Земли. Выражая v2 из (6) и подставляя в (7), получаем
п2
Л}
Замечая, что gR2/ry есть квадрат скорости корабля на круговой орбите радиуса гу, из уравнения (8) получаем
2v Ivi — 1
Отсюда большая полуось эллипса
а = \ + г2)
-v2lv2'
Поскольку по условию добавочная скорость Av много меньше скорости орбитального движения v, то
1 + М =1+2
VI V
Теперь для большой полуоси имеем a = rl( 1 + 2Av/v). Подставим полученное выражение для а в уравнение третьего закона Кеплера (5). Возводя отношение а/гу в куб и учитывая, что Av/v^l, находим Т\ = Т2( 1 + 6Av/v), откуда
Т, -Т = ЗГ —.
1 V
Сравнивая это выражение с (4), видим, что
Av = ?. (9)
Итак, если мы хотим, чтобы встреча кораблей произошла через один оборот, то идущему впереди нужно сообщить добавочную скорость Av, определяемую соотношением (9). Чтобы встреча произошла через п оборотов, нужно сообщить в п раз меньшую доба-
222
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
вочную скорость Av = Ы{ЪпТ). Таким образом, мы можем израсходовать тем меньше топлива для совершения маневра, чем больше времени согласны ждать встречи. После завершения маневра сближения, для того чтобы перевести корабль снова на круговую орбиту, придется погасить сообщенную ему добавочную скорость, т. е. еще раз включить двигатель.
Второй случай, когда требуется догнать идущий впереди корабль, рассматривается совершенно аналогично и приводит к такому же выражению (9) для Av.
Пример 3. Движение метеорита. На большом расстоянии от Земли метеорит движется относительно нее со скоростью v0. Если
бы земное притяжение отсутствовало, метеорит прошел бы на расстоянии I от центра Земли (рис. 127). Выясним, при каком наибольшем значении «прицельного» расстояния I метеорит будет захвачен Землей.
На большом расстоянии от Земли, где потенциальную энергию взаимодействия с Землей можно считать равной нулю, метеорит имеет скорость vQ и его полная энергия равна кинетической mvy2. Если бы начальная скорость метеорита v0 была равна нулю, то, двигаясь только под действием силы притяжения к Земле, он обязательно упал бы на Землю и при падении имел у поверхности Земли скорость, равную второй космической Vn= 11,2 км/с, в чем легко убедиться с помощью закона сохранения энергии. Ясно, что траектория метеорита в этом случае — прямая, проходящая через центр Земли.
Если же начальная скорость метеорита отлична от нуля, то он в поле земного тяготения движется по гиперболе и будет захвачен Землей только тогда, когда эта гипербола «заденет» земной шар. Нетрудно сообразить, что при заданном прицельном расстоянии / траектория метеорита будет тем меньше искривлена, чем больше его скорость v0, так что достаточно быстрые метеориты благополучно минуют Землю. Очевидно, что наименьшей скорости vQ, при которой метеорит еще «проскочит» Землю, соответствует траектория, изображенная на рис. 127. И наоборот, при заданной начальной ско-
§ 36. КОСМИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
223
рости vQ эта траектория соответствует наибольшему прицельному расстоянию I, при котором метеорит будет захвачен Землей. Итак, для получения ответа на поставленный вопрос нужно рассмотреть траекторию, касающуюся земного шара.
