Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
космической динамики.
• Почему при решении задачи ( о падении груза на подвешенный к пружине диск нельзя применить закон сохранения механической энергии ко всему процессу в целом?
• Объясните, каким образом потенциальную энергию груза в поле тяжести можно включить в упругую потенциальную энергию пружины, к которой он подвешен, и не учитывать ее явно в уравнении баланса энергии.
• Объясните подробно, почему в задачах 2 и 3 можно пренебречь изменением кинетической энергии Земли при составлении уравнения баланса энергии и в то же время утверждать, что учет изменения импульса Земли обеспечивает выполнение закона сохранения импульса всей системы.
• Какую роль играют закон сохранения энергии и второй закон Ньютона при решении задачи 2?
• Докажите, что подкоренное выражение в формулах (13) или (15) задачи 4 положительно, если пуля пробивает доску насквозь.
• При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой изменяется не только значение кинетической энергии тела, но и ее изменение в каком-либо процессе. Почему же при таком переходе остается справедливым уравнение, выражающее закон сохранения энергии?
§ 36. Космическая динамика и законы сохранения
Аналитическое решение динамической задачи о движении тела в центральном гравитационном поле, например о движении планет вокруг Солнца или искусственных спутников Земли, сопряжено со значительными математическими трудностями. Между тем ответы на многие вопросы, касающиеся этого движения, можно сравнительно просто получить с помощью законов сохранения.
Вторая космическая скорость. Прежде всего определим вторую космическую скорость Vu, т. е. минимальную скорость, которую нужно сообщить находящемуся на поверхности Земли телу для того, чтобы оно удалилось на бесконечность (ее часто называют также скоростью освобождения). Для частного случая тела, брошенного вертикально вверх, эта скорость была уже найдена в задаче 1 § 33.
Найдем теперь вторую космическую скорость в общем случае. Проще всего это сделать, используя закон сохранения энергии. Будем
§ 36. КОСМИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
217
считать, что двигатели ракеты срабатывают непосредственно у поверхности Земли, сообщают ракете необходимую скорость и выключаются. Кинетическая энергия тела при запуске равна mV\xl2, а потенциальная энергия вблизи поверхности Земли равна —mgR. Полная механическая энергия
mV{,
Е = - mgR
в свободном полете остается неизменной. В конечном состоянии, когда ракета удалилась от Земли на бесконечность, ее потенциальная энергия равна нулю. Очевидно, что необходимая начальная скорость будет наименьшей, если в конечном состоянии скорость ракеты обратится в нуль. Следовательно, в конечном состоянии полная механическая энергия равна нулю и вследствие закона сохранения энергии
/2
тК
—г-------mgR = О,
откуда немедленно получаем
Vu = V2gh = 11,2 км/с. (1)
Ракета удалится на бесконечность независимо от того, в каком направлении сообщена ей вторая космическая скорость, хотя траектории движения при этом, разумеется, будут разными. Но во всех случаях это будут параболы, хотя и с разным положением оси симметрии и крутизной ветвей.
Особенности движения тела в ньютоновском поле тяготения удобнее всего изучать на конкретных примерах. В этом параграфе будет рассмотрено несколько примеров из космической динамики движения спутников в гравитационном поле Земли на основе законов Кеплера и законов сохранения.
Пример 1. От Земли по разным траекториям. С полюса Земли запускают две ракеты, одну вертикально вверх, другую горизонтально. Начальные скорости обеих ракет равны vQ, причем vQ больше первой космической скорости и меньше второй. Выясним, какая из ракет удалится дальше от центра Земли и во сколько раз. Сопротивлением воздуха будем пренебрегать.
Рассмотрим вначале более простой случай, когда ракета запускается вертикально вверх. Поскольку единственная сила, действующая на ракету в свободном полете, есть сила притяжения к Земле, направленная вертикально вниз, то ракета полетит по прямой, проходящей через центр Земли. Так как начальная скорость ракеты меньше второй космической скорости, то ракета на некотором расстоянии г1 от центра Земли остановится и начнет падать назад. Точку максимального удаления проще всего найти из энергетических соображений. Действительно, так как полная механическая
218
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
энергия системы ракета—Земля сохраняется, энергия в начале полета (mvyi — mgR) равна энергии в точке остановки (—mgR2/rl). Отсюда сразу находим расстояние максимального удаления от центра Земли:
2gR*
2gR - Uq
(2)
Прежде чем вычислять величину максимального удаления ракеты при горизонтальном запуске, выясним вопрос о форме траектории. Поскольку начальная скорость ракеты превышает первую космическую, но меньше второй, ракета движется по эллипсу, у которого фокус находится в центре Земли, а начальная точка полета является перигеем. Большая ось эллипса проходит через эту точку
