Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Неизменность траектории обеспечивается, как говорят, связями, наложенными на рассматриваемую систему. Например, траектория вагона метро однозначно задается конфигурацией проложенного тоннеля. Грузик маятника, выполненного в виде насаженного на жесткий стержень шарика, может двигаться только по окружности определенного радиуса. Подобные примеры часто встречаются в природе и технике. Говорят, что в этих случаях наложенные связи уменьшают число степеней свободы.
Свободная материальная точка в трехмерном пространстве имеет три степени свободы в соответствии с тем, что ее положение задается тремя независимыми числами. Точка, которая может двигаться по заданной поверхности, имеет только две степени свободы. Например, для точки на поверхности земного шара достаточно указать две географические координаты — широту и долготу. Наконец, вагон метро в тоннеле обладает только одной степенью свободы. Движение вагона по рельсам одномерно, хотя сам тоннель может быть причудливым образом изогнут в трехмерном пространстве. Ясно, что использовать векторные величины для описания движения вагона совершенно излишне.
В подобных случаях для описания движения вводятся так называемые обобщенные координаты, число которых равно числу степеней свободы. Когда траектория частицы заранее задана, в качестве такой обобщенной координаты удобно выбирать расстояние вдоль траектории от некоторой начальной точки.
• Какие величины удобно выбрать в качестве обобщенных координат для корабля, плывущего в океане? Для подводной лодки? Сколько обобщенных координат нужно для корабля, рассматриваемого как материальная точка, и для того же корабля в случае, когда необходимо учесть его габариты?
• Брошенный под углом к горизонту камень летит по некоторой траектории. Можно ли считать его движение одномерным? Есть ли здесь связи, наложенные на движение?
46
I. КИНЕМАТИКА
• Какие возможные движения вагона метро не принимаются во внимание, когда считается, что у него одна степень свободы?
• Как ускорение а( при одномерном движении по криволинейной траектории связано с введенным ранее тангенциальным ускорением? а.
§ 10. Неравномерное одномерное движение
Для характеристики неравномерного движения по заданной траектории, т. е. движения с переменной скоростью, удобно ввести ускорение at, характеризующее быстроту изменения скорости vf.
Когда скорость vt увеличивается, ускорение а{ > 0. При замедлении движения, когда vt убывает, ускорение а(< 0. В дальнейшем будем обозначать ускорение at через а, опуская значок I. Нужно, однако, помнить, что оно характеризует только изменение величины скорости, а не ее направления. Поэтому а не следует смешивать с модулем полного ускорения а, который обозначается той же буквой а. При изучении движения по заданной траектории полное ускорение в кинематических задачах обычно не фигурирует, а интерес представляет именно рассматриваемое здесь ускорение at, характеризующее быстроту изменения скорости vt прохождения пути.
Равноускоренное и равнозамедленное движения. Самый простой случай неравномерного движения — это движение с постоянным ускорением. Такое движение называют равнопеременным. Иногда
равнопеременное движение называют равноускоренным, если скорость и ускорение направлены в одну сторону и модуль скорости растет, и равнозамедленным, если скорость и ускорение направлены в противоположные стороны и модуль скорости убывает. Нетрудно видеть, что если равнозамедленное движение будет продолжаться с
(1)
а
б
Q
Рис. 37. График скорости при постоянном ускорении
§ 10. НЕРАВНОМЕРНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
47
прежним ускорением и после остановки, т. е. после обращения скорости в нуль, то оно превратится в равноускоренное движение в противоположном направлении.
При постоянном ускорении промежуток времени At в формуле (1) можно выбирать любым, так как отношение Av/At не зависит от At. Тогда приращение скорости за любой промежуток времени можно выразить следующим образом:
Дv = a At. (2)
Применяя эту формулу к промежутку времени от t = 0 до некоторого момента t, можно написать выражение для скорости v в любой момент времени t при движении с постоянным ускорением а:
v(t) = v0 + at. (3)
Здесь v0 — значение скорости при t = 0, т. е. v0 = v(0). Графики скорости, соответствующие формуле (3), показаны на рис. 37. Рис. 37а относится к случаю, когда направления начальной скорости и ускорения совпадают (равноускоренное движение), рис. 37б — к случаю, когда направления начальной скорости и ускорения противоположны. За положительное направление выбрано направление начальной скорости v0. До момента времени t{ это равнозамедленное движение, а затем — равноускоренное в противоположном направлении. На рис. 37е в качестве положительного направления выбрано направление ускорения. Подчеркнем, что во всех этих случаях справедлива одна и та же формула (3). Различаются они только знаками v0 и а.
