Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
сти к ранстве и времени, сформировавшими-
ся на основе многовекового опыта наблюдений над сравнительно медленными движениями, происходящими со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света.
§ 11. Преобразования Лоренца. Интервал.
Релятивистский закон преобразования скорости
Полученные выше на основе постулатов теории относительности формулы (10.1) и (10.2), связывающие промежутки времени и расстояния между.точками в разных системах отсчета, позволяют написать релятивистский закон преобразования координат и времени произвольного события при переходе от одной системы отсчета к другой. Этот закон должен заменить основанные на классических представлениях о пространстве и времени преобразования Галилея (9.1).
Рассмотрим, как и в § 9, описание некоторого события А в двух инерциальных системах отсчета К и К' • Пусть координаты и время этого события в системе К есть х, у, г и t, а в системе К' —х', у', г', и Y (рис. 11.1). Как и прежде, считаем, что при /=0 точки О и О' совпадают. Расстояния в направлении, перпендикулярном к относительной скорости v систем отсчета, как уже было показано, одина-
§11. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
491
ковы в К и К', поэтому у=у' и 2=z'. Координата х есть собственная длина /0 отрезка ОВ, неподвижного в /С-си-стеме. Длина / этого же отрезка в /С'-системе, где измерение производится в момент времени ?, есть x'+vt'. Учитывая соотношение (10.2) между собственной, длиной некоторого отрезка /0 и длиной / этого же отрезка в системе отсчета, относительно которой он движется со скоростью v:
мы можем написать
x' + vt'^хУ 1 —v'lc* откуда
x' + vt'
X==Z V1 — У2/С4 *
К у'. Г А
0' 1
1
t ~
Л ^ тчГ
В х
(11.1)
Рис. 11.1. Координаты одного и того же события А в двух системах отсчета.
Но. можно рассуждать и иначе. Координата х' есть собственная длина отрезка О'В, неподвижного в /('-системе. Длина этого же отрезка в К, измеряемая в момент времени t по часам К, равна х—vt. Снова учитывая соотношение (10.2) между длиной одного и того же отрезка в двух системах отсчета, 'можем написать
- <п-2>
Формулы (11.1) и (11.2) позволяют также нарти связь между временем tut’ одного и того же события в обеих системах отсчета. Исключая из (11.1) и (11.2) сначала ха затем х, найдем
t-
У 1 — vfy3'
t' ¦
t—\х с2
(11.3)
У 1 — и2/с2
Таким образом, релятивистские формулы преобразования координат некоторого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой имеют вид x' + vt' , _
492
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Эти формулы называют преобразованиями Лоренца. Они заменяют преобразования Галилея, справедливые лишь в предельном случае малых по сравнению со скоростью света относительных скоростей. При и<Сс преобразования Лоренца (11.4) .переходят в преобразования Галилея (9.1). Это означает, что теория относительности не отвергает полностью классические представления о пространстве и времени, а включает их в себя как предельный случай, справедливый для медленных движений. Теория относительности не отвергает классическую физику, а определяет границы ее применимости.
Преобразования Лоренца выражают относительный характер промежутков времени между событиями и расстояний между точками в пространстве. Однако наиболее характерной чертой теории относительности является не утверждение относительного характера пространства и времени, а установление абсолютных, не зависящих от выбора систем отсчета законов природы. Задача нахождения абсолютного выражения законов природы тесно связана с отысканием абсолютных, инвариантных величин. Одна из таких величин упоминается уже в основных постулатах — вто максимальная скорость распространения взаимодействий, равная скорости света в вакууме с. Другой важной инвариантной величиной является пространственно-временной интер-
вал между событиями, определяемый следующим соотношением:
S12 = VcH\2-l\2, (П-5)
где /12— промежуток времени между событиями, а 112 — расстояние между точками, в которых происходят рассматриваемые события. В частности, если одно из событий происходит в начале координат x1=y1—z1=0 в момент времени 4=0, а второе — в точке х, у, г в момент t, то интервал между ними
S = V с212—х2—у2 — г2. (11.6)
Пусть, например, первое событие представляет собой
вспышку света, происходящую в начале координат при /=0, а второе — приход фронта этой световой волны в точку с координатами х, у, г в момент времени t. Тогда *?+t/2+ -\-zi==c2t2 и интервал для такой пары4событий S=0. Координаты и время второго события в другой системе отсчета
8 И- ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
493
К' будут другими, но и для них в силу инвариантности скорости света будет выполняться такое же соотношение х'?-+ +y'*+z'2=c2t'2 и, следовательно, S'=0. Таким образом, если два события связаны между собой световым сигналом, то интервал между ними равен нулю во всех инерциальных системах отсчета. Этот результат является математическим выражением абсолютного характера скорости света.
