Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
б ХА = аА + ААвХв,
6Yap = 0 = 6 gajJ
(12.1.5.1а)
(12.1.5.16)
(12.1.5.2)'
а также токи, отвечающие поворотом и бустам:
|„Х[ДХЯГ (12.1.5.3)
Заряды получаются интегрированием
л или 2л
Qa = 5 i°A do
(12.1.5.4)
0
(полный импульс струны) и
л или 2л
л или 2л
\ i0ABdo
(12.1.5.5)
О
Струна Намбу — Гото: классический анализ 107
преобразования носят название псевдоконформных преобразований ’):
xa = fa(x^) являются конформными преобразованиями
X
:!„ (х)= (¦<'! Л2 (*'). (12.1.6.1)
Инфинитезимальные конформные преобразования х'а=ха-\--f б|“ удовлетворяют условию
Sesffap = A,gep, (12.1.6.2)
как видно из разложения уравнения (12.1.6.1).
Чтобы проанализировать свойства конформной группы, удобно переписать уравнение (12.1.6.1) в “конформной калибровке”, т. е. в системе координат, в которой метрика пропорциональна двумерному тензору Минковского:
gap (х) = ф2 (х) T]ag («конформная калибровка») (12.1.6.3)
^-gap= V~g Лор.
Существование таких систем координат хорошо известно из дифференциальной геометрии (см., например, книгу Эйзенхар-та [5] и разд. 12.5, где обсуждается калибровка светового конуса) .
Соотношение (12.1.6.3) позволяет записать уравнение
(12.1.6.1) в виде
а2-1-6-4)
что в инфинитезимальной форме эквивалентно уравнениям
6^-бЕ’,, 6?°, = fig'0 (12.1.6.5)
(условия псевдо-Коши — Римана).
С этими уравнениями удобнее работать в светоподобных координатах (u,v), в которых квадрат длины записывается как ds2 = —2<j>2dudv. Тогда конформные преобразования U{u,v),
V {и, и) являются преобразованиями координат, подчиненными
‘) Очевидно, можно принять бескоординатные обозначения и определить конформную группу, но здесь это необязательно, поскольку мы рассматриваем (по крайней мере в этом разделе) многообразия с тривиальной топологией |(~/?3) и используем глобальные координаты.
108
Глава 12
условиям
dU dV
ди ди
dU dV
dv dv
0, (12.1.6.6)
= 0. (12.1.6.7)
Следовательно, с точностью до перестановочного преобразования U = v, V = u общее двумерное конформное преобразование является прямым произведением двух одномерных координатных преобразований
U = U (и), 7 = 7(о). (12.1.6.8)
Соответственно конформная группа является прямым произведением двух групп одномерных диффеоморфизмов1). Эта структура прямого произведения оказывается явной в светоподобных координатах.
В терминах координат Минковского х°, х1 получаем
, оТ 1 о I (12.1.6.9)
X 1 = f(x° + х*) — g (ха — X1).
Новые координаты х'° и х'1 удовлетворяют свободному волновому уравнению.
По многим причинам конформная группа играет важную' роль в теории струн. Одна из причин заключается в том, что эта группа является остаточной группой диффеоморфизмов в. часто используемой конформной калибровке (12.1.6.3).
Более важным оказывается то свойство, что алгебра компонент тензора энергии-импульса скалярного поля Xх изоморфна конформной алгебре (ее центральное расширение называется алгеброй Вирасоро). Именно это свойство мы сейчас обсудим.
Рассмотрим безмассовое двумерное скалярное поле Х(ха) с обычным действием
S[X] = -± $ У=? ?аЧД<У^2*. (12.1.6.10)
Очевидно, это выражение инвариантно относительно преобразований координат из конформной группы.
По теореме Нётер эта инвариантность приводит к бесконечному числу сохраняющихся токов, которые имеют вид
/“(&) = 7"% (12.1.6.11)
где — конформный вектор Киллинга, т. е. решение уравнения (12.1.6.2). Здесь Та&—компоненты симметричного бесследо-
¦) В случае, если одномерное многообразие является окружностью, эта группа обозначается Diff (S1).
Струна Намбу — Гото: классический анализ 109
вого тензора энергии-импульса скалярного поля (~ f>2>/8gaр> см. выражение (12.1.2.3)):
га9 = 7«в> Га3.р = 0) таа = 0 (12.1.6.12)
(как мы уже говорили в разд. 12.1.2, бесследовость тензора 7аР является результатом вейлевской инвариантности, а символ обозначает ковариантную производную).
