Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Но D (5) является а (X, /^-плотным подпространством в X, поэтому оно и т (X, F)-плотно. Тем самым из полученной оценки следует т (X, /^-непрерывность.
Теперь опять введем резольвенту Rоператора 5 и, как в доказательстве предложения 3.1.6, заметим, что
оо t
JUJ ~р RbA = _L j ds (е-л (S-O _ e-As) UsA--L J dse-K (s-t)u$A
0 0
-» 7,RXA~A = SRXA. t->o
Первый член по-прежнему сходится равномерно, а второй сходится в т (X, F)-топологии, так как $—> USA непрерывно в этой топологии. Поскольку область значений оператора Ri и /3(5) совпадают, то при AfD (S) в т (X, /^-топологии (Ut — 1) Alt—> SA.
Чтобы установить последнее из утверждений следствия, возьмем Р = X*. Тогда топология Макки т (X, F) совпадает с топологией нормы, и предположение о свойствах полунорм соответствует следующей оценке: || UtA || ^Л1 ехр{(57} [JА ||. Но эта оценка была установлена в предложении 3.1.3.
Можно заметить, что оценка для резольвенты
[| (X/ — S) -1! < М (Re К - р) -1, Re К > р,
178
3. Группы, полугруппы и генераторы
полученная в предложении 3.1.6, принимает особенно простую форму
| (M_S)-i| < (Re^1 для Co-полугруппы сжатий U\ очевидно, что тогда и
I (a,/_S)-»!<(Reb)-»
при всех п = 1, 2, .... Однако в общем случае ситуация усложняется. Можно получить выражения, представляющие собой преобразования Лапласа:
оо
(ЯI-S)~"A = j dte~u UtA, Re^>p,
0
и с их помощью показать, что
оо
I (>j _ s)~* I < j dte-tRe ^ 1}! = М (Re X - р)-».
о
Эти оценки не выводятся по индукции из оценки при п — 1, если М ф 1, так как М входит в них линейно.
В качестве последнего замечания о предложении 3.1.6 упомянем, что резольвентное множество генератора 5 содержит полуплоскость Re % > р. Если же 5 — генератор такой С„-полугруп-пы U, для которой [| Ut |[ Ме$‘, то и S, и —5 порождают С0-полугруппы (соответственно \Ut\t^o t^o) и, значит,-
г (S) содержит обе полуплоскости Re X > (3 и Re X < —(3. Следовательно, спектр о (S) генератора 5 лежит в полосе | Re X ] < С |3, и если U —¦ группа изометрий, то спектр ее генератора должен лежать на мнимой оси.
После такого предварительного знакомства с генераторами обратимся к более интересной проблеме построения полугруппы по генератору. Мы рассмотрим два случая, F = X* и F = X*, отвечающих слабо (сильно) и слабо* непрерывным полугруппам. В обоих случаях изложение ведется по одной схеме, и многие из свойств первого случая переносятся на второй по двойственности. В связи с этим часто бывает полезен следующий элементарный результат:
Лемма 3.1.9. Пусть S — оператор в банаховом пространстве X, F — замкнутое по норме подпространство в X*, и пусть
II А I = sup || т] (А) |; г] ? F, I г] || < 1}.
Если S можно расширить до оператора в X, сопряженного к некоторому о (F, X)-плотно определенному оператору S* в F, то S обладает а (X, F)-a (X, F)-замыканием.
3.1. Теория для случая банахова пространства
179
Вдобавок, эквивалентны следующие условия:
(1) S определен а(Х, F)-плотно и а (ХЛ F)-a (X, Р)-замкнут\
(2) S сопряжен к некоторому a (F, X)-плотно определенному и a (F, Х)-а (F, Х)-замкнутому оператору S* в F.
Если эти условия выполнены и S ограничен, то J S | = | S* |.
Доказательство. (1) => (2). Пусть G (S) = {(A, SA); А ? D (S)} обозначает график оператора S, a G (S)x = {(со1; со2)} — его ортогональное дополнение в F X F. Вначале покажем, что G = {(—ш2, (?>!); (e>lt со2) ? G (S)-1} служит графиком оператора S* в F. Для этого достаточно проверить, что из со2 = О последует со1 = 0. Но это вытекает из соотношения ортогональности
“1 (Л) + со., (S4) = 0
и плотности D (S). Далее, заметим, что G (S)1-, а значит и G, является по определению a (F, X) X a (F, Х)-замкнутым множеством. Тем самым ст (F, Х)-а (F, Х)-замкнут оператор S*. Если же S* не будет a (F, Х)-плотно определен, то
в G- должен найтись элемент вида (—В, 0), т. е. в X содержится В =j= 0, такой что (0, В) ? G (S). Однако это противоречит линейности оператора S; следовательно, S* определен плотно.
(2) (1). Применимо то же самое рассуждение.
Обратимся теперь к первому утверждению леммы. Поскольку D (S*) плотна, сопряженный к S* оператор S** корректно определен как о (X, F)-o (X, F)-замкнутый оператор в Л. Но S** будет замкнутым расширением S, т. е. S замыкаем. Наконец,. равенство норм для ограниченных операторов непосредственно усматривается из соотношения /
И Л || = sup {1 г) (А) [; г) ? F, [[тЦ|<1}.
Главная тема этого пункта — конструкция С0- и С*-полу-групп. Проблема состоит в характеризации тех операторов, которые допускают взятие экспоненты от них тем или иным способом, и мы рассмотрим здесь в пункте 3.1.3 ряд алгоритмов построения экспоненциальной функции. Начнем с результата, дающего характеризацию генератора S полугруппы сжатий через свойства его резольвенты. Алгоритм
