Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
ница, такой что ?2 = Е, Е9? (§) = 3JJ, || Е || = 1. Это отображение Е является также условным ожиданием: Е (ABC) = АЕ (В) С при А, С ? Tt, В ? 2 (ф) [Torn 1 ]. В обратную сторону утверждение получено для всех факторов 3№,»исключая, быть может, факторы типа [Con 5]. Известно, что гиперфинитны факторы Кригера, т. е. факторы, которые представляют собой скре-
щенное произведение cr-конечной абелевой алгебры фон Неймана и единственного автоморфизма, действующего свободно и эргоди-чно; справедливо и обратное утверждение, за исключением, быть
может, случая [Con 3], [Con 5].
Относительно классификации гиперфинитных факторов известно, что, с точностью до изоморфизма, существуют только один гиперфинитный фактор типа IIj и один гиперфинитный IL-фактор [Con 5]. Автоморфизмы этих факторов были классифицированы [Con 6] с точностью до отношения эквивалентности, играющего роль в теоремах 2.7.21 и 2.7.25. В результате было установлено, что существует в точности один гиперфинитный ПЦ-фактор при каждом К между 0 и 1, а гиперфинитные факторы типа Ш0 полностью характеризуются свойствами потока {3 (91), а\. Гиперфинитный фактор типа IIIi существует [Ага 6 ], и есть гипотеза, что он единствен.
Параллельно с классификацией факторов возникает классификация С*-алгебр. Алгебра 91 называется С*-алгеброй типа I, если вСе ее фактор-представления принадлежат к типу I (фактор-представление С*-алгебры 91 — это такое представление л, что я (91)" — фактор). Для сепарабельной С*-алгебры 91 известно, что 91 будет типа I тогда и только тогда, когда ее неприводимые представления с одним и тем же ядром унитарно эквивалентны (ядра неприводимых представлений — примитивные идеалы алгебры). Известно еще, что 91 типа I тогда и только тогда, когда для любого ее неприводимого представления л выполнено условие
Замечания и Комментарии
161
Я?#(?) s я (91) [GH 4]. Тем самым классификация сепарабельных С*-алгебр типа I сводится до некоторой степени к изучению структуры их идеалов.
Известно iGli 4], [Маг 1], что для сепарабельной С*-алгебры 91 не типа I и бесконечного гиперфинитного фактора 9Л среди представлений алгебры найдется такое представление я, что я (21)" = ЭЛ. Этот результат позволяет считать, что следующим по простоте своих свойств классом С*-алгебр будет класс ядер-ных С*-алгебр, которые характеризуются тем, что все их фактор-представления гиперфинитны. В этом направлении предприняты многочисленные исследования, см. [Choi 1], [Eff 2], [Ell 6], [Ped 2].
ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
Материал этой главы содержится в целом ряде книг и курсов лекций по операторным алгебрам. Например, можно обратиться к [ [Arv 1]], [[Dix 1]], [ [Dix 2]], [ [Gui 1]], [ [Kad 1 ] ],
[ [Lan 1]], [[Nail]], [[Ped 1]], [ [Sak 1]], [ [Sch 1]]. Наиболее доступное введение в общую теорию дают [ [Arv 1 ] ], [ [Gui 1 ] ], [[Kad 1]], [[Lan 1 ]]. Из числа многих книг по функциональному анализу и его различным аспектам упомянем только [[Bou 1]], HKat 1]], [ [Ree 1]], [ [Rie 1]], [ [Rud 1]], [ [Rud 2]],
[[Yos 1]]. Особенно простое изложение отличает [[Ree 1 ] ], [ [Rud 2 ] ] и [ [Rud 1 ] ].
Пункт 2.1.1
В этом пункте приведены стандартные сведения. Изучение абстрактных С*-алгебр было начато Гельфандом и Наймарком [Gel 1 ], а также Сигалом [Seg 1 ]. Первоначально С*-алгебра определялась в [Gel 1 ] как банахова *-алгебра с нормой, удовлетворяющей условию ||Л*Л|| = I] А |Р, и требовалась также обратимость всякого элемента вида И -j- А*А. Второе условие впоследствии удалось исключить благодаря усилиям Фукамии [Fuk 1 ], Келли и Вота [Kel 1] и Капланского [Кар 1]. Глимми Кадисон [Gli 1] показали также, что условие на норму можно заменить следу-ющим:(| А*А || = IЛ* 11Л ||. Сравнительно недавно Араки и Эллиотт [Ага 1] показали, что условие ||ЛЯ|| < ||Л [|||Я|| является следствием остальных С*-структурных свойств. Теорема 2.1.10 содержится в [Gel 1 ], а теорема 2.1.11—в [Gel 2]. Некоторые авторы различают абстрактные С*-алгебры и С*-алгебры, конкретно реализованные ограниченными операторами в гильбертовом пространстве. В таком случае абстрактную алгебру называют В*~ алгеброй, а конкретную — С*-алгеброй.
162
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Пункт 2.2.1
Общая спектральная теория для элементов банаховых алгебр с инволюцией была также заложена в [Gel 1 ], и обычно ее изложение базируется на теории коммутативных банаховых алгебр [Gel 2]. Мы обошлись без применения этой теории, сделав ударение на тех свойствах, которые выводятся с помощью простых преобразований элементов.
Пункт 2.2.2
Теорема 2.2.12, которая гласит, что элемент положителен в том и только том случае, когда он представим в виде А*А, принадлежит Капланскому [Кар 1 ]. Это ключевой результат, позволяющий заключить, что элемент 11 + А*А обратим, и тем самым исключить избыточную аксиому из [Gel 1 ]. Поскольку мы избегали коммутативной теории, наше обсуждение свойств положительных элементов проведено нетрадиционным образом. Но базируется оно на стандартной технике, применяемой при изучении ограниченных операторов в гильбертовом пространстве (см., например, [ [Rie 1, §§ 104 и 108]]). Интегральный алгоритм извлечения квадратного корня, который часто используется при исследовании свойств ограниченных операторов, может быть распространен на положительные неограниченные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве [ [Kat 1]], [[Ree 1]]. В связи с предложением 2.2.13 интересно заметить, что если при некотором а > 1 для элементов С*-алгебры 91 из А В > 0 всегда следует Аа > Ва, то алгебра 91 абелева [Oga 1 ]. Подробное обсуждение полярного разложения дано в [[Kat 1 ]].
