Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
В физике мерой длины служит сантиметр (см) — одна сотая часть метрового стержня, хранящегося в Париже. Этот стержень 16
Гл. /. Геометрия и космология
с самого начала должен был олицетворять простое отношение к окружности Земли, именно быть одной десятимиллионной частью квадранта (четверти длины земного меридиана); однако при более поздних измерениях обнаружилось, что это получилось не совсем точно.
В качестве единицы времени в физике используется секунда (сек), которая отражает хорошо известную долю периода оборота Земли вокруг собственной оси.
Эти определения единиц, основанные на длине окружности и времени обращения Земли вокруг своей оси, оказались неудобными. Сегодня мы используем более четко воспроизводимые единицы, основанные на атомных свойствах материи. Так, метр определяют теперь, говоря, что он содержит определенное число длин волн точно определенного электромагнитного излучения, испускаемого атомом кадмия; секунду—как заданное кратное времени осцилляции определенных молекул.
§ 3. НАЧАЛО И СИСТЕМА КООРДИНАТ
Если мы хотим определять не только длины и периоды времени, но и местоположения и моменты времени, необходимо
сделать дальнейшие допущения. В, случае времени, которое мы считаем одномерным представлением, достаточно конкретизировать начальный момент, или нулевую точку. Историки определяют даты, отсчитывая годы от «Рождества Христова». Астрономы выбирают другие начальные моменты, или нулевые точки, соответственно объектам их исследований; эти объекты они называют эпохами. Если единицы и начальный момент заданы, то каждое событие можно выделить, сопоставляя ему соответствующее число.
Геометрия в узком смысле требует для определения местоположения на Земле задания двух чисел, чтобы конкретизировать точку. Сказать «мой дом — на Бэйкер-стрит» недостаточно, чтобы найти его. Нужно знать еще номер дома. Во многих американских городах перенумерованы и сами улицы. Адрес «13-стрит, 25» состоит из двух чисел. Это именно то, что математики называют «определением через задание координат». Поверхность Земли покры-
Фиг. 1. Географическая долгота в и широта <р точки P на
земной поверхности. Долгота в отсчитывается от Гринвичского меридиана, Ф—от экватора. Точки NhS означают северный н южный полюсы. § 3. Начало и система координат
17
вают сетью пересекающихся линий, которые либо перенумерованы, либо их положение определено числом, расстоянием или углом (отсчитанными относительно начальной, или нулевой, линии).
Фиг. 2. Положение точки P на плоскости.
Оно определяется ее проекциями на оси х и у в прямоугольной (а) или косоугольной (б) системе координат.
Географы обычно используют географическую долготу (на восток или на запад от Гринвича) и широту (на север или на юг от экватора; фиг. 1). Эти определения фиксируют одновременно нулевые линии, от которых отсчитываются обе координаты: для географической долготы — Гринвичский меридиан и
в
Фиг. 3. Определение положения точки P в полярной системе координат.
Задается расстояние г от начала координат (точки О) и угол Ф между радиусом г н Осью, проходящей через начальную точку О.
Фиг. 4. Положение точки P в пространстве.
Оно определяется тремя отрезками х, у н Z иа осях в прямоугольной системе координат.
для широты — экватор. При изучении геометрии на плоскости мы обычно используем прямоугольные (декартовы) координаты ху (фиг. 2, а); эти координаты означают расстояния от двух взаимно перпендикулярных координатных осей. Иногда также используются косоугольные координаты (фиг. 2,6), полярные 18
Гл. /. Геометрия и космология
координаты (фиг. 3) и другие. Как только система координат конкретизирована, положение каждой точки можно определить, приписывая ей два числа.
Точно таким же образом для задания точки в пространстве требуются три координаты. В этом случае простейший выбор вновь реализуется взаимно перпендикулярными (прямоугольными) координатами; мы обозначаем их как xyz (фиг. 4).
§ 4. АКСИОМЫ ГЕОМЕТРИИ
Древняя геометрия как наука была в гораздо меньшей мере связана с вопросом определения положений на поверхности Земли, чем с определением размеров и форм площадей, объемов и фигур в пространстве, а также законов, которым подчиняются эти фигуры. Геометрия брала свое начало в искусствах геодезии и архитектуры. При этом она обходилась без понятия координат. Первое и основное: геометрические теоремы определяют свойства объектов, которые называются точками, прямыми линиями и плоскостями. В классическом каноне греческой геометрии — работе Евклида (300 г. до н. э.) — эти вещи не определяются специально, но лишь перечисляются и описываются. Таким образом, на помощь привлекается интуиция. Вы должны уже знать, что такое прямая линия, если хотите приступить к изучению геометрии. Представьте себе угол дома или натянутую струну, отвлекитесь от вопроса, из чего это сделано, и вы получите прямую линию. Затем устанавливаются законы, которые должны выполняться для конфигураций таких абстрактных вещей. Именно грекам принадлежит честь великого открытия, заключающегося в том, что необходимо предположить справедливость лишь небольшого числа таких законов для того, чтобы все остальные можно было вывести из них с логической неизбежностью. Такие утверждения, используемые как фундамент, называются аксиомами. Их достоверность не может быть доказана. Они вытекают не из логики, но из других источников знания. Что из себя представляют эти источники — предмет философских размышлений последующих веков. Сама геометрическая наука вплоть до конца XIX в. принимала эти аксиомы как априорно заданные и на их основе строила чисто дедуктивную систему теорем.
