Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
4trta)
I I I I *'} I1 I I
—й) - Ї I I I I I I I I I I I I I I I
tt-to) (t-tt)
s *o у ^s' *'< X' (g)......-
Vltr b)
Фиг. 70. Наблюдение цепочки волн из двух систем отсчета.
Система S покоится, а система S' движется со скоростью о в направлении распространения волн.
он не исчезает и, таким образом, выдает движение тел в эфире? В первом случае принцип относительности будет оставаться справедливым для оптических явлений, происходящих между материальными телами.
Теория эфира дает следующий ответ на этот вопрос: эффект Доплера зависит не только от относительного движения источника и наблюдателя, но также, в небольшой мере, от движений их обоих относительно эфира. Это влияние, однако, оказывается настолько малым, что его не удается наблюдать; более того, в случае общего поступательного движения источника света и наблюдателя он точно равен нулю.
Последнее обстоятельство настолько самоочевидно, что вряд ли требует подчеркивания. Необходимо только сообразить, что волны проходят мимо двух любых точек, покоящихся друг относительно друга, в одном и том же ритме независимо от того, покоятся эти две точки в эфире или находятся в общем движении. Тем не менее принцип относительности не выполняется строго: он лишь приближенно справедлив для всех тел, излучающих и поглощающих свет. Докажем это. § 8. Эффект Доплера
123
С этой целью воспользуемся теоремой, сформулированной выше в связи с инвариантностью числа волн.
Наблюдатель, связанный с системой координат, покоящейся, в эфире, наблюдает конечный пакет волн, который достигает ТОЧКИ ЛГо в момент Времени to И покидает точку в момент времени ti. В этом случае на основании соотношения (38) мы пришли к выводу, что число волн определяется как
п
и
Другой наблюдатель, движущийся в направлении х со скоростью V, измеряет то же самое число п аналогичным образом. Но он получает другую частоту v' и скорость с'. В момент времени to волны достигают точки хо, а в t\ — покидают точку х[. Поэтому
(39)
Преобразование Галилея (29) связывает х\ и лго с х\ и х'о. В предположении, что начала х = 0 и х? = 0 двух координатных систем совпадают в момент времени t = 0, мы получаем,
ЧТО Xi = Xi-Vti и Xo = Хъ —
С помощью формулы (39) можно вычислить. соотношение между характеристиками волн в двух координатных системах. Во-первых, оба наблюдателя могут выполнять наблюдения в один и тот же момент времени = U\ тогда Xl — ЛГо = = Xi — х'о и формула (39) показывает, что
т-7- »
Во-вторых, наблюдения могут выполняться в фиксированной точке пространства в движущейся системе: х\ = JCo- Преобразование Галилея дает Xi — хй = х\ — Xo + v (ti — ^0)- Таким образом, при x'i = Xo мы получаем Xi — Xo = V (ti — to). Подставляя это выражение в формулу (39), приходим к следующему результату:
v(l-|) = v'.. (41)
Такая связь между частотами v и v' означает, что частота уменьшается, когда наблюдатель движется со скоростью v в том же направлении, что и луч света.
Из (40) и (41) вытекает очевидный результат
с' = с- v. (42) 124
Г л. V. Фундаментальные законы электродинамики
Этого и еще одного самоочевидного факта — равенства длин волн в двух системах: %' = К — было бы достаточно д^я того, чтобы сразу вывести формулу (41). Мы предпочли метод, в котором используется инвариантность числа волн потому, что этим методом можно будет пользоваться и в дальнейшем, в теории относительности. Там, как мы увидим, равенства с' = с — v или }/ = % совсем не самоочевидны: в действительности их заменяют совершенно иными соотношениями.
Рассмотрим обратную ситуацию: пусть источник света, частота колебаний которого равна vo, движется в направлении оси X со скоростью Уо- Представим себе, что покоящийся в эфире наблюдатель измеряет частоту v. Этот случай непосредственно сводится к предыдущему. В самом деле, для наших рассуждений совершенно несущественно, движется ли источник света или наблюдатель; они зависят только от того, в каком ритме волны набегают на точку, в которой ведется наблюдение. В нашем случае движущейся точкой служит источник света. Поэтому формулу для нашего случая можно получить из формулы для предыдущего, заменив v на V0 и v' на vq:
Но здесь Vo — заданная частота источника света, a v — наблюдаемая частота, т. е. то, что мы стремимся вычислить. Поэтому полученную формулу нужно разрешить относительно v:
Таким образом, наблюдаемая частота оказывается увеличенной, поскольку знаменатель меньше 1.
Итак, мы видим, что отнюдь не безразлично, движется ли наблюдатель в одном направлении или источник света в противоположном с той же скоростью. Действительно, если источник покоится, излучая свет с частотой vo, то наблюдатель, движущийся вправо со скоростью v, видит частоту vB [полагая v' = vb, V = vo в формуле (41)]:
Если же источник движется влево со скоростью V, а наблюдатель покоится, то в формулу (43) необходимо подставить Vo = — V, и мы получаем
vo
(43)
с
Vb = V0 § 8. Эффект Доплера
125
Эти частоты оказываются не равными между собой. Во всех практических случаях разница, конечно, очень мала. Выше мы видели (гл. IV, § 3, стр. 96), что отношение орбитальной скорости Земли к скорости света ? — у/с = 1 : 10 000; такие же малые величины ? характерны для всех космических движений. Поэтому в качестве очень близкого приближения можно записать
