Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Если период колебаний в свободной от поля области пространства равен Т, то величина s = icT представляет инвариантное расстояние между двумя мировыми точками, соответствующими двум последовательным крайним положениям колеблющегося атома относительно той системы отсчета, в которой он покоится. В относительно ускоренной системе отсчета, в которой гравитационное поле существует, то же расстояние S = icT дается формулой (98), где т) и Z1 характеризуют разности пространственных координат атома в два момента времени: когда мы начинаем наблюдать колебание и когда заканчиваем, а т есть соответствующий интервал времени, причем все эти величины измеряются в выбранной системе отсчета. Если за начало пространственных координат взять центр атома, то мы можем положить I = г) = ? = 0; тогда
S2= — C2T2 = g44x2.
Таким образом,
Но мы знаем, что только в свободных от полей областях пространства g« = —с2 [см. формулу (99), стр. 329], то-есть когда т = Т. В гравитационном же поле gu отличается от —с2, 342
Г л. VII. Общая теория относительности Эйнштейна
скажем, gi4 = —с2( 1—у)- Поэтому период колебаний изменяется:
или, если отклонение у мало, то приближенно (см. примечание к стр. 211)
Это и есть разность хода двух часов, находящихся в двух различных точках пространства, в которых различие гравитационного поля, определяемого величиной g44, характеризуется относительным значением у-
Положителен коэффициент Y или отрицателен — можно установить, рассматривая простой случай, в котором ответ на этот вопрос удается получить, просто исходя из принципа эквивалентности. Это случай постоянного гравитационного поля, такого, как имеет место, например, в непосредственной близости от поверхности небесного тела. Действие такого поля g можно эквивалентно заменить ускорением наблюдателя той же величины g, направленным противоположно силе тяготения. Если I—расстояние от наблюдателя до поверхности звезды, то световая волна должна затратить время U= lie, чтобы достигнуть наблюдателя, и измерять наблюдатель будет все величины точно так же, как если бы он удалялся от поверхности с ускорением g. Когда световая волна настигнет его, он приобретет скорость
в направлении распространения света; следовательно, согласно принципу Доплера [формула (41), стр. 123], он будет наблю-дать уменьшенную частоту
Эту формулу можно вывести прямо из принципа эквивалентности (гл. VII, § 2), опираясь на идею световых квантов, о которой мы говорили выше.
Согласно квантовой теории, свет частоты v можно рассматривать как поток квантов с энергией е = hv. Эти кванты имеют инертную массу
(100)
(101)
tn
е
которая, согласно принципу эквивалентности, равна их гравитационной массе. Когда кванты света hv проходят расстояние § 9. Механические следствия и их подтверждения
343
/ против гравитационного поля g, их энергия уменьшается на glm. Таким образом, в конце пути энергия кванта е' = hv' составляет лишь
Если константу h сократить в обеих- частях, мы снова получаем формулу (101). Период колебаний т = l/v', наблюдаемый в гравитационном поле, связан с периодом колебаний T = l/v, определенным в свободном от полей пространстве соотношением
или, приближенно,
Физический смысл этой формулы состоит в следующем: даны двое одинаково сконструированных синхронных часов, первоначально покоящихся относительно друг друга; если одни из них подвергаются в течение определенного интервала времени действию гравитационного поля, то часы станут идти уже не синхронно, но те из них, которые испытали действие поля, будут отставать.
Сравнивая формулы (101а) и (100), мы видим, что в рассмотренном случае постоянного поля
Но, согласно формуле (15) (гл. II, § 14, стр. 53), величина Gx есть потенциальная энергия тела в постоянном гравитационном поле g, когда тело поднимается в поле на расстояние х\ здесь, согласно (13) (гл. II, § 12, стр. 48), G = mg, где m — масса. Следовательно, разность потенциальных энергий на единицу массы для двух тел, разделенных расстоянием I, составляет lg. Обозначив эту величину через <р, мы имеем
Ньютоново представление потенциальной энергии согласуется с теорией Эйнштейна, и поскольку ньютонова механика представляет собой приближение к эйнштейновской, можно принять эту величину ф и затем показать, что формула
(101а) 344
Г л. VII. Общая теория относительности Эйнштейна
выполняется для любого гравитационного поля и что величина Y положительна, если свет распространяется в направлении, противоположном полю.
Эту формулу можно применить к лучу света, идущему от Солнца или от звезды. Там ему приходится преодолеть сильное притягивающее поле, тогда как, падая на Землю, он испытывает действие лишь очень слабого ускоряющего поля. Следовательно, все спектральные линии звезд должны быть немного смещены в сторону красного конца спектра. Хотя предсказываемая величина эффекта чрезвычайно мала, его существование было подтверждено наблюдениями, по крайней мере качественно. Совершенное количественное согласие не было еще достигнуто вследствие того, что ни массы, ни радиусы неподвижных звезд, подходящих для такого рода измерений, не известны с достаточной точностью. Однако в той мере, в какой результаты удалось установить, они вполне согласуются с формулой Эйнштейна.
