Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Г л. VII. Общая теория относительности Эйнштейна
шесть боковых, и, таким образом, длина последней боковой спицы окажется недостаточной. Если на самом деле участок плоский, то землемер со своей точки зрения решит, что он находится на вершине холма или на дне долины. Если же он сообразит, в чем дело, то повторит измерение с проволоками из другого материала. Под действием солнечных лучей эти спицы будут вытягиваться немного больше или немного меньше, чем предыдущие. Это и поможет землемеру заметить ошибку, а затем выправить ее.
Но предположим теперь, что удлинение, вызванное нагреванием, одинаково у всех материалов, из которых можно изготовить спицы. Тогда ошибку не удастся обнаружить вообще. Степи будут считаться горами, а некоторые из гор станут степями. Или представим себе, что на длины всех линеек и спиц действуют какие-то неизвестные нам силы, причем всегда в одной и той же степени. В этом случае геометрия, которую установил бы землемер с помощью своей измерительной рулетки и проволочных шестиугольников, оказалась бы совершенно отличной от истинной геометрии поверхности. Однако, до тех пор пока землемер располагал бы только своими измерениями на поверхности и не имел бы возможности пользоваться третьим измерением, он был бы твердо убежден, что определяет правильную геометрию поверхности.
Эти рассуждения убеждают нас в том, что понятие «геометрия на поверхности», или, говоря словами Гаусса, «geometria intrinsica»'), не имеет ничего общего с той формой этой поверхности, какой ее видит наблюдатель, располагающий возможностью пользоваться третьим измерением в пространстве. Как только с помощью измерительной рулетки задана единица длины и определены гауссова сетка и метрика, геометрия на поверхности оказывается полностью заданной относительно этой системы независимо от того, какие перемены происходят фактически с мерами в течение процесса измерения. Перемены как бы не существуют для существа, ограниченного самой поверхностью, до тех пор, пока их действие на все вещества носит совершенно одинаковый характер. Следовательно, такое существо будет обнаруживать кривизну там, где в действительности никакой кривизны нет, и наоборот. Но это самое «в действительности» становится бессмысленным, когда речь идет только о «поверхностных» существах; ведь они не могут иметь представления о третьем измерении, подобно тому как мы — люди — не можем представить четвертое измерение в пространстве. Поэтому, с точки зрения таких существ, бессмысленно описывать их мир как «поверхность, лежащую в трехмерном
') Внутренняя геометрия (лат.)—Прим. перев. § 5. Двумерный континуум
319
пространстве»; они живут скорее в «двумерном континууме». Этот континуум имеет определенную геометрию, определенные кратчайшие, или геодезические, линии, а также определенную «меру кривизны» в каждой точке. Но поверхностные существа ни в коем случае не станут ассоциировать это представление с предыдущей фразой, как мы понимаем ее с позиций нашего интуитивного представления о кривизне поверхности; они будут понимать ее только как свидетельство того, что проволочный шестиугольник остается более или менее несомкнувшимся или перекрывшимся, и только.
Если читателю удастся представить себе чувства такого поверхностного существа и представить себе мир с его точки зрения, то следующий этап абстрагирования не составит для него затруднений.
Итак, в точности то же самое, что происходит с поверхностным существом, может случиться с нами, человеческими существами, в нашем трехмерном мире. Вполне возможно, что этот мир лежит в четырехмерном пространстве совершенно так же, как поверхность лежит в нашем трехмерном пространстве; неизвестные нам силы могут изменять все длины в определенных областях пространства так,- что мы никогда не сможем наблюдать эти изменения непосредственно. Но тогда могло бы случиться, что пространственный многогранник, построенный по принципам шестиугольника и обязанный, согласно обычной геометрии, смыкаться, обнаружил бы небольшую щель.
Наблюдали ли мы когда-нибудь что-либо подобное? С самых древних времен евклидова геометрия всегда считалась точной наукой. Ее теоремы были объявлены критической философией Канта (1781 г.) первично истинными и тем самым — вечными истинами. Однако величайшие из математиков и физиков, и прежде всего Гаусс, Риман и Гельмгольц, никогда не разделяли этого общего убеждения. Гаусс однажды даже предпринял весьма обширную геодезическую экспедицию с целью проверки теорем евклидовой геометрии, именно проверки того, что сумма углов треугольника равна двум прямым (180°). Он обмерил треугольник между тремя горами — Брокеном, Высоким Хагеном и Инзельбергом. В результате оказалось, что сумма углов имеет правильную величину в пределах ошибок измерения.
За это предприятие Гаусс подвергся атакам философов. Утверждалось прежде всего, что даже если бы он обнаружил какие-либо отклонения, то это означало бы самое большее, что световые лучи между телескопами оказались отклоненными вследствие каких-то, возможно неизвестных, физических причин, но никоим образом не опровергало евклидову геометрию, 320
