Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
S1 + S2 + S3 + ...
вдоль геодезической, соединяющей точки Pi и P2, короче, чем вдоль любой другой линии, проходящей через эти точки (фиг. 138). Отрезки Si, S2,.. можно определить по обобщенной теореме Пифагора (97), если gu, gl2, g22 известны.
На сферической поверхности, как известно, «наибольшие» окружности, лежащие на сфере, образуют кратчайшие расстоя-
Фиг. 138. Сравнение геодезической линии с другой (произвольной) кривой. 316
Г л. VII. Общая теория относительности Эйнштейна
ния. Эти окружности вырезаются плоскостями, проходящими через центр. На других поверхностях кратчайшие линии нередко представляют собой весьма сложные кривые; тем не менее в рамках этой поверхности они оказываются простейшими кривыми и образуют каркас геометрии этой поверхности точно так же, как прямые линии образуют каркас евклидовой геометрии на плоскости.
Геодезические определяются, конечно, инвариантными формулами. Они представляют действительные геометрические свойства поверхности. Все остальные инварианты можно вывести из этих основных инвариантов. Однако этот вопрос выходит за рамки нашего изложения.
Другое фундаментальное свойство поверхности — ее кривизна. Ее обычно определяют с помощью третьего пространственного измерения. Кривизна сферы, например, измеряется через ее радиус, именно как расстояние от точки на поверхности до центра сферы, который, разумеется, лежит вне самой сферической поверхности. Землемер в лесистой области, конечно, не смог бы использовать это определение кривизны. Он
не может перемещаться в точки, лежащие вне поверхности, поэтому должен попытаться определить кривизну с помощью только своей измерительной рулетки. Гаусс доказал, что это действительно возможно. Идея его рассуждений состоит, попросту говоря, в следующем.
Землемер берет 12 проволочных спиц одинаковой длины и делает из Фиг. 139. шестиугольник них правильный шестиугольник, CO-ДЛЯ определения внутрен- единяя углы радиусами, как пока-ней кривизны поверхности, зано на фиг. 139. Согласно хорошо известной теореме элементарной геометрии, возможно собрать такую фигуру из 12 одинаковых спиц в одной плоскости так, что все они будут одновременно полностью растянуты. Это, пожалуй, весьма замечательное свойство: ведь когда 5 из 6 равносторонних треугольников уже соединены и растянуты, то последняя спица должна точно войти в оставшийся промежуток, и никакая подгонка ненужна. Мы еще в школе узнали, что спица подходит точно, но над тем, что заучено в школе, обычно мало задумываются в дальнейшем. Итак, совершенно поразительно, что в промежуток входит проволока в точности той же длины, что и другие стороны шестиугольника.
На самом деле этот прием «срабатывает» только на плоскости. Если попробовать проделать ту же самую операцию на § 5. Двумерный континуум
317
искривленной поверхности, причем так, чтобы и центр, и все шесть вершин шестиугольника были на этой поверхности, то выяснится, что шестиугольник не смыкается. На вершинах холмов и в серединах долин спица оказывается слишком длинной, в переходных областях, идущих от одной низины к другой между двумя холмами (где поверхность имеет форму сёдла), — она слишком коротка. Читатель может сам убедиться в этом, взяв 12 проволочных спиц и несколько подушек.
Однако этот опыт наводит нас на идею о критерии, позволяющем определять кривизну, не покидая самой поверхности: в самом деле, если шестигранник полный, то поверхность плоская, если нет, то она искривлена. Мы не будем выводить меру кривизны. Сказанного достаточно, чтобы убедиться, что эту меру можно определить самым строгим образом. Она, очевидно, зависит от того, как изменяются от точки к точке метрические коэффициенты. Гаусс доказал, что мера кривизны может быть выраж:ена с помощью величин gn, ga, fe и является инвариантом поверхности, не зависящим от выбора гауссовой сетки.
Гауссова теория поверхностей представляет собой метод построения геометрии, к которому можно применить выражение теория близкодействия — термин, заимствованный из физики. Исходным моментом такого подхода служат не законы поверхности в большом масштабе, но дифференциальные свойства поверхности (свойства в малом): метрические коэффициенты и инварианты, образованные из них, и прежде всего мера кривизны. Форму поверхности и ее геометрические свойства в целом можно определить в этом случае последовательными вычислениями, механизм которых весьма сходен с процедурой решения дифференциальных уравнений в физике. Евклидова геометрия в отличие от гауссовой являет собой типичную теорию действия на расстоянии. Именно поэтому новая физика, построенная исключительно на понятиях близкодействия, на представлении о поле, нашла евклидову схему недостаточной и вынуждена была выбрать новые пути в духе Гаусса.
§ 5. ДВУМЕРНЫЙ КОНТИНУУМ
Пусть наш землемер пытается с помощью проволочного шестиугольника определить кривизну участка. Пусть он при этом не обращает внимания на тот факт, что в лесу имеется прогалина как раз в том месте, где расположен центр его шестиугольника, так что концы встречающихся в этом месте спиц освещает солнце. Эти спицы немного удлинятся из-за нагревания. Поэтому шесть радиальных спиц окажутся длиннее, чем 318
