Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
E' § 10. Оптика движущихся тел
295
следовательно, в системе S
E
Таким образом,
Ejl = I.
Py а
что согласуется с выражением для d?, приведенным выше. По Планку энергия кванта света равна E = hv в системе SnE' = = hv' в системе S'. Если 5' принять за систему S0, в которой
Неподвижная звезда J
-е
S'
Неподвижная звезда <
Uy = C
-е
Фиг. 132. Аберрация в теории относительности.
Чтобы компоненты скорости (Ux, Uy и т. д.) были положительны, мы взяли перевернутую
систему координат. C точки зрения системы S', которая движется со скоростью v относительно Земли и в которой неподвижная звезда находится в состоянии покоя, свет распространяется в направлении у. В системе S, в которой Земля покоится, мы получаем две компоненты скорости и и и у
излучающие свет атомы покоятся, то v' = V0 и соотношение CtE = E' эквивалентно соотношению av = vo. Тем самым мы получили другой вывод поперечного доплер-эффекта.
Элементарная формула аберрации вытекает из точной формулы, если пренебречь ?2:
Этот результат особенно замечателен в свете того факта, что все теории, опирающиеся на представление об эфире, испыты- 296 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
вали серьезные трудности при попытках объяснить аберрацию. Из преобразования Галилея вообще не следует отклонений фронта и направления распространения волны (гл. IV, § 10, стр. 139); для объяснения аберрации приходится ввести понятие «луча», который в случае движущихся систем не обязательно должен совпадать с направлением распространения луча. В теории Эйнштейна эта трудность исчезает. В любой инерциальной системе S'направление луча (т. е. направление, вдоль которого передается энергия) совпадает с нормалью к фронту волны, и аберрация следует так же, как доплер-эффект и коэффициент увлечения Френеля, из понятия волны в результате применения преобразования Лоренца.
Этот способ вывода фундаментальных законов оптики движущихся тел ярко иллюстрирует превосходство теории Эйнштейна над всеми другими теориями.
§ И. АБСОЛЮТНЫЙ МИР минковского
Суть новой кинематики состоит в нераздельности пространства и времени. Мир представляет собой четырехмерное многообразие, его элементом является мировая точка. Пространство
и время составляют форму размещения мировых точек, причем это размещение до известной степени произвольно. Минковский выразил эту идею следующим образом: «Отныне и навсегда пространство и время превращаются лишь в тени и только некий род единства того и другого сохраняет независимое существование». Он обосновал это положение, разработав кинематику в форме четырехмерной геометрии. Мы повсюду пользовались его методом описания, лишь ради простоты отвлекаясь от осей у и Z и работая в плоскости xt. Присмотревшись к геометрии в плоскости xt с математической точки зрения, можно заметить, что мы имеем дело не с обычной евклидовой геометрией. Действительно, в евклидовой геометрии все прямые линии, исходящие из начала координат, эквивалентны, а единица длины на них — одна и та же; таким образом, калибровочная кривая представляет собой окружность (фиг. 133). В нашей же геометрии в плоскости xt пространственно-подобные н временно-по-
Фиг. 133. Фундаментальный инвариант евклидовой геометрии. § 11. Абсолютный мир Минковского
297
добные прямые не эквивалентны. Каждой из них свойственны различные единицы длины, а калибровочная кривая состоит из двух гипербол
F = x2-сЧ2 = ±1.
В евклидовой геометрии можно построить бесчисленное множество прямоугольных систем координат с одним и тем же началом О, причем каждую из них можно трансформировать в другую с помощью поворота. В плоскости xt также существует бесконечное число эквивалентных систем координат, одну из осей которых можно произвольно выбирать в пределах определенной области углов.
В евклидовой геометрии расстояние s точки P с координатами X, у от начала координат представляет собой инвариант относительно поворота системы координат [см. гл. III, § 7, формула (28), стр. 77]: в системе ху по теореме Пифагора
S2 = X2 + у2-,
в любой другой системе х'у' точно так же S2 = х'2 + у'2. Калибровочная кривая — окружность единичного радиуса — характеризуется равенством s=l. Следовательно, s (или s2) можно считать фундаментальным инвариантом евклидовой геометрии.
В плоскости xt фундаментальный инвариант имеет вид
F = x2- c2t2,
а калибровочная кривая определяется условием
F= ±1.
Минковский заметил здесь пардллель, проливающую свет на математическую структуру четырехмерного мира (или, в нашем случае, на структуру плоскости xt). Действительно, положив — сЧ2 = W2, мы получим
F = X2 + и2 = S2-,
эту величину можно рассматривать как фундаментальный инвариант S2 евклидовой геометрии в прямоугольных координатах Xi у. Правда, в области обычных чисел невозможно вычислить квадратный корень из отрицательной, величины — сЧ2, поэтому и не имеет элементарного смысла. Но математики давно привыкли преодолевать такие трудности. «Мнимая» единица У — 1 = і надежно утвердилась в математике со времен Гаусса. Мы не можем здесь углубляться в вопрос, как законы мнимых чисел можно строго обосновать. По сути дела, эти числа не более «мнимы», чем дробь, скажем, 2/г: ведь числа, с помощью которых мы исчисляем вещи и считаем, ограничиваются лишь натуральными (целыми) числами 1, 2, 3, 4, ... Число 2 не делится на 3, так что 2/з представляют операцию, не в большей мере осуществимую, чем операция У — 1. Дроби вида 2/з — это 298 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
