Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
где q, с2, с3 — фазовые скорости для заданного направления распространения. Рассчитанные таким способом для нескольких соединений дебаевские температуры сравниваются в табл. 14 с упомянутыми ранее значениями, определенными путем согласования измеренных значений теплоемкостей с кривой Дебая.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Таблица 14
СРАВНЕНИЕ ДЕБАЕВСКИХ ТЕМПЕРАТУР, ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИЗ УПРУГИХ И ТЕПЛОВЫХ ДАННЫХ
КС1 NaCl I CaF FeS
Из тепловых данных ... 230 281 474 645
Из упругих данных.... 227 305 510 696
64
Глава 2. Колебания решетки
После подробного рассмотрения колебаний решетки мы вернемся к более обстоятельному изучению теории Дебая.
Используя распределения частот Эйнштейна и Дебая, легко найдем соответствующие выражения для свободной энергии
F = N {и (г) + 3 п Ш [1 { + 1л (1 —
(модель Эйнштейна), (4.37)
вв'Т
F = Ar{u(J,)+ 9nkT[[^j J [!$ +in (1 -*--*)]?*<*?]}
0 (модель Дебая). (4.38)
Мы замечаем, что в обоих выражениях колебательное слагаемое F — Nu(v) является функцией f(V, 7) от V, 7 вида
f (V, 7) = 7Ч (-?-), (4.39)
где^(7/0) — функция одного аргумента 7/0, причем 0—функция одного лишь объема. Легко убедиться, что
= _ JX = _ J) (4 40)
Uln&)т & 1э In Т jv 1 '
Используя это соотношение, получаем
-у /_э f (т, V) ^ _у^\_ эч_1 .....
I Э V )т V { Э In 0 It V \ Э In Т |v ’ v ' где введено обозначение
*=-4w- <4-42>
Выражая у\ через ? в правой части (4.41), получаем следующее соотношение:
V 'j- |
справедливое в общем случае для функции вида (4.39)
(M^i)r = f[,'(li5Tri)v-f(V''T)]- <4-43»
Подставляя колебательную часть свободной энергии Fкол. = F — Nu(v) в это соотношение, найдем
X. { т (|^)v - F + Nu (г)}, (4.44)
где под у подразумеваются выражения
d in &е тж d In @D
d in V И d in V
§ 4. Приближенное рассмотрение термодинам. свойств решетки 65
соответственно для модели Эйнштейна и Дебая. Замечая, что, согласно (4.1) и (4.7),
приводим (4.44) к виду
_(АП ,du(v) _ уДкол. (445)
1 Э V )т^ dv V ’
где Екол. = Е — Nu (v) — колебательная часть энергии. Наконец, заменяя величину —(ЭР/ЭУ)Г давлением р[см. (4.12)], получаем уравнение состояния Ми [4] и Грюнайзена [5]
. du Е кол. Лс\
P + W=y^v~- (4-46>
Это уравнение справедливо, вероятно, в более широкой области, чем любое из рассмотренных выше специальных распределений частот. Общее уравнение состояния (4.15) приводится к этому виду, если принять все величины у,- равными друг другу. Это на самом деле имеет место для действительных колебаний в простом линейном случае, рассматриваемом в следующем параграфе. Хотя допущение
о равенстве всех у,- не всегда справедливо, оно представляет собой все же весьма полезное приближение при рассмотрении тепловых свойств твердых тел.
Значение у в уравнении (4.46) может, конечно, зависеть от
объема, но, как показывает теоретическая оценка у, исходя из
атомных сил (на основе либо модели Эйнштейна, либо модели Дебая), эта зависимость оказывается слабой. Считая у постоянной (так называемая константа Грюнайзена), Грюнайзен [5] провел обширные исследования, касающиеся различных выводов, которые можно извлечь из рассматриваемого уравнения состояния, и в большинстве случаев получил удовлетворительное экспериментальное подтверждение теоретических результатов. Следуя в общем методу Грюнайзена, мы выведем некоторые соотношения, описывающие термические изменения объема и сжимаемости. Эти результаты могут быть затем использованы для вычисления объема и сжимаемости решетки в состоянии статического равновесия.
Поскольку нас интересуют величины объема и сжимаемости при нормальных давлениях, которые оказывают пренебрежимо малое влияние на твердые тела, можно положить р = 0 в уравнении состояния (4.46); при этом получаем
%Г-Щг- (4-47)
Кроме (4.47), требуется еще одно соотношение для определения термического изменения сжимаемости. Это соотношение может
