Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Плотность энергии, связанную с внешней деформацией, можно, однако, получить с помощью упругих постоянных (вблизи статически равновесной конфигурации Х°), выведенных в гл. 5 методом длинных волн. С помощью этих упругих постоянных можно построить «функцию энергии деформации»
§ 40. Нормированный гамильтониан
355
Это выражение включает не только энергию, обусловленную внешней деформацией, описываемой параметрами иар, но и энергию (отрицательную!) внутренней деформации, вызываемой внешней деформацией. Вклад, вносимый внутренней деформацией, может быть исключен следующим образом. Имея в виду физическую интерпретацию уравнения первого порядка (26.18), легко сообразить, что в выражении для упругих постоянных [см. (27.26)]
только член (ау, /ЗА) обусловлен индуцированной внутренней деформацией. Если уничтожить внутреннюю деформацию, то этот член выпадает, а квадратные скобки остаются неизменными. Поэтому, опуская (ay, /ЗА) в (40.7) и подставляя последнее выражение в (40.6), получаем плотность энергии, обусловленную внешней деформацией :
Обозначая энергию, приходящуюся на одну ячейку недеформи-рованной решетки, через q0 и складывая (40.4), (40.8) и N <р0, найдем полную потенциальную энергию N ячеек
Напомним, что квадратные скобки определены через вторые производные от Ф с помощью (26.5) и (26.32); комбинируя эти формулы, имеем
Если присутствует электрическое поле, то в гамильтониан необходимо включить член, характеризующий эффективное взаи-
Сау,ря = [а/?, уА] + [/Зу, аА] — [/ЗЛ, ау] + [ау, /ЗА] (40.7)
2 2 2’ {[аР, у^\ + [Ру, аЧ — [№, «у]} и** ищ ¦ (40.8)
^ ДЗ
ау РХ
N <р0 + \ N va 2 2 {[аР, уЦ + [Ру, аЧ — [РК «у]} Чау щх +
* да
ау рХ
+ W 2 2Фм (_ ¦) и-* Q (°) +
+^222 ®(.»с,» п., иЛ q п +
ар уХ j V / J V /
(40.9)
ЧУ • <40Л0>
356
Глава 6. Свободная энергия
модействие между движением ядер и полем. Применение приближения Плачека (см. § 20) сразу показывает, что для того, чтобы правильно воспроизвести собственные значения энергии (18.11) для колебательных состояний (в основном электронном состоянии), член, описывающий взаимодействие, должен иметь вид
- >" Ма (X) Еа-~2 Рая (О, X) Еа Ер . (40.11)
а
Выражая член взаимодействия явно в виде ряда по ищз, Е и J. j,
можно рассматривать его как сумму двух частей — значения члена взаимодействия при однородной конфигурации, описываемой параметрами иар, и добавочного вклада за счет смещений (40.1) относительно однородной конфигурации. Последнюю величину можно написать непосредственно по способу, примененному при получении (40.4),
- 1Ш 2 М. (°) Е, Q (°) - Z Рч (°) Е. Е, Q (“) -
- Щ2 2M.M{l4)E.ut,QQ--i$22M. (J7)E.g0g(7)-
-±2$22м.м(-_ГЯ (f)e(7) + - •
(40.12)
Здесь коэффициенты являются образами производных электрического момента и поляризуемости, определенными так же, как и в случае потенциальной функции ; например,
м„,Ц77)-
- tJ % м-*’ ® isiibr*(* I') 17) •
Ik k/i I'k'v
(40.13)
Поскольку компоненты Е представляют собой макроскопические параметры, подобные иар, то для получения требуемой точности достаточно учитывать в М(АГ) только члены вплоть до первого порядка по иар, а в Рар(0, X) можно пренебречь всеми членами, зависящими от и~3.
§ 40. Нормированный гамильтониан
357
В члене взаимодействия для однородной конфигурации, описываемой параметрами иар, запишем часть, не зависящую от иир,
где (j.° и р°/, — соответственно момент и электронная поляризуемость ячейки при недеформированной конфигурации X0. Кроме (40.14), мы должны рассматривать только линейные по и„р члены ' М(Х), так как все остальные члены являются членами третьего и более высоких порядков относительно макроскопических параметров. Используя выражение (36.4) для смещений, найдем, что членами ЩХ), линейными по иявляются следующие :
Первый член в правой части тождественно равен нулю в силу соотношения инвариантности (23.22); с другой стороны, второй член показывает, что каждая ячейка дает следующий вклад в электрический момент:
Складывая (40.12), (40.14) и (40.17), получаем для члена взаимодействия, нормированного на N ячеек решетки, выражение
N 2 Ла Еа— ^2 РаЦ Еа Ер ,
а * пр
(40.14)
?Щ,.ху(1)2Ма,р(к) +
к
+ 22щу2ма,р{к)х,,{к). (40.15)
2 Щу 2 М«,р (к) х,. (к).
