Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 39. Нормировка физических параметров, правила отбора
349
Несмотря на асимметричный вид (39.6), коэффициенты Л (У + У' + У") Ф
в действительности являются полностью симметричными по индексам доказательства этого достаточно показать,
что (39.6) симметрично в случае
у + у' + у" = у (Л) (вектор обратной решетки), (39.7)
для которого Л (у + у' + у") ф 0. Из равенства
«w(2ia-*-c;a
сразу очевидна симметрия выражения (39.6) относительно (yJ и (JJJ. Чтобы показать, что (39.6) симметрично также и относительно
01 И (/')’ поменяем местами (0> к, а) и (/', к', /?) в производной от Ф,
а затем переобозначим к, а, к', /? соответственно через к', /?, к, а, преобразуя, таким образом, (39.6) к виду
ф(уу'у1 =
I / /' Г)
= S Л у Фгф/ (* к- г) е>! (*'; /) е“{к | /1 е> [к"! /') х
х ехр {2 л i [у' х (/') + у" х (Г)]}.
Вычитая I' из индексов ячеек в производной от Ф и используя (39.7) для записи у' в экспоненциальном множителе в виде уф) —у —у", получаем
ф (УУ'У'] = V >¦ >’ v ф (О-гг-п________________1_____
w/'/'J Tis Т Ti гТу Vе к’ к" ) {татк-тк-У'*
х ^(*'!у) ea[k\l^eY[k" |у„) ехр {2 л i [ух (—/') + у" х (Г-/')]},
где, как видим, y(/z) не дает вклада в экспоненциальный множитель,
так как у(/z)x(Z') — целое число. Вводя теперь в качестве индексов
суммирования — I', I” — /'и записывая их затем просто как V, I”, имеем
*(ЯЯ-
X ехр {2 л i [у х (/') + у" х (Г)]}.
350
Глава 6. Свободная энергия
Сопоставляя это соотношение с (39.6), мы видим, что его правая
что как раз и является требуемым соотношением симметрии.
Вышеприведенные рассуждения, проделанные для членов третьего порядка, носят, очевидно, общий характер. Таким образом, коэффициенты при членах s-ro порядка в разложении (39.2) имеют вид
симметрична по s наборам индексов, если у + у' + у"... + y(i) = у(Л), а коэффициенты (39.8) симметричны по индексам во всех случаях. Кроме того, в силу (38.30) имеем, очевидно, общее соотношение
Благодаря ограниченности интервала разрешенных волновых чисел единственные остающиеся в разложении (39.2) члены первого и второго порядка отвечают соответственно значениям у = 0 и у'= — у. В случае дФ эти члены тривиальны: члены первого порядка
члены второго порядка сводятся к (38.28). С другой стороны, для электрического момента и поляризуемости имеем с точностью до членов второго порядка включительно следующие явные выражения :
часть равна
Иными словами, указанное соотношение
может быть записано в виде
¦г 4 (У + + г + ¦ ¦ ¦ + У“>> ф (% ¦ ¦ ¦ $), (39.8)
S! Л’(*-2)/2
1 1
где величина
X е. (i I J) е, (l’ I»)... t, (*:«! exp {2л i (>'*(!') - ... - y«>x ((“)]}
(39.9)
*(
;)=** (»:... p. (39.Ю)
равны нулю в силу условия равновесия (фа ^j = Ф„ (к) = oj, а
(39.11)
(39.12)
§ 39. Нормировка физических параметров, правила отбора 351
где коэффициенты могут быть написаны в полной аналогии с (39.9). Так, коэффициенты нулевого порядка, записанные в обозначениях, введенных в (23.3) и (23.4), имеют вид
Ми (°) = >" М0,,, (к) -}=- еЛк °) , (39.13)
кП \ГПк V I//
Р«0 (?) = Т- *¦' (к 1 /) ’ (39Л4>
V/; к у I>mk V i /;
а коэффициенты второго порядка равны
= гЩsf'Mtt-)<39-,5>
р- R 7) - ? Ж р** (° Я явка-»- 7) ‘-"wn -=I /) "(*• 17) • <39-|6>
Для коэффициентов второго порядка имеем следующие соотношения симметрии :
м“(ГЯ="-(7/)=М!(7гЬ (39'|7>
Ч/71=М7Я=Р-'(7Я- <3918>
При написании разложения (39.2) мы использовали только то, что решетка является периодической структурой. Поэтому то же разложение можно использовать применительно к однородно деформированной решетке. Другими словами, если представить отклонения ядер от однородно деформированной конфигурации в виде
(39.3), то соответствующее изменение Ф можно записать в виде аналогичного разложения
дФ ДеФ = j/'N У А (у) Ф ДеФ Q +
+^ f 6Я «6) в (Я +
+ е-k! Ц^ + У' + УО R 'г Я в й О (Я «(Я+--
(39.19)
352
Глава б. Свободная энергия
коэффициенты которого обладают теми же свойствами симметрии, что и рассмотренные выше, и связаны с производными от Ф, взятыми при деформированной конфигурации, соотношением
фдефГУУ' y(S)l = v \ у Ф„еф (О Г /“>')_____________________________1_______*
I a F4 kZ ~р'" I сш«)у U к №} (тк тк’. ..ткт)
х еа (ft! у) ef (ft' I*,) ...еу (ft(S); у‘*) ехр {2л i [у' х (Р)+... +уы х (/«)]}.
(39.20)
